【十大经典数据挖掘算法】系列
- C4.5
- K-Means
- SVM
- Apriori
- EM
- PageRank
- AdaBoost
- kNN
- Naïve Bayes
- CART
1. 前言
分类与回归树（Classification and Regression Trees, CART）是由四人帮Leo Breiman, Jerome Friedman, Richard Olshen与Charles Stone于1984年提出，既可用于分类也可用于回归。本文将主要介绍用于分类的CART。CART被称为数据挖掘领域内里程碑式的算法。
不同于C4.5，CART本质是对特征空间进行二元划分（即CART生成的决策树是一棵二叉树），并能够对标量属性（nominal attribute）与连续属性（continuous attribute）进行分裂。
2. CART生成
前一篇提到过决策树生成涉及到两个问题：如何选择最优特征属性进行分裂，以及停止分裂的条件是什么。
特征选择
CART对特征属性进行二元分裂。特别地，当特征属性为标量或连续时，可选择如下方式分裂：
An instance goes left if CONDITION, and goes right otherwise
即样本记录满足CONDITION则分裂给左子树，否则则分裂给右子树。
标量属性
进行分裂的CONDITION可置为不等于属性的某值；比如，标量属性Car Type取值空间为{Sports, Family, Luxury}，二元分裂与多路分裂如下：
连续属性
CONDITION可置为不大于\(\varepsilon\)；比如，连续属性Annual Income，\(\varepsilon\)取属性相邻值的平均值，其二元分裂结果如下：
接下来，需要解决的问题：应该选择哪种特征属性及定义CONDITION，才能分类效果比较好。CART采用Gini指数来度量分裂时的不纯度，之所以采用Gini指数，是因为较于熵而言其计算速度更快一些。对决策树的节点\(t\)，Gini指数计算公式如下：
\begin{equation}
Gini(t)=1-\sum\limits_{k}[p(c_k|t)]^2
\end{equation}
Gini指数即为\(1\)与类别\(c_k\)的概率平方之和的差值，反映了样本集合的不确定性程度。Gini指数越大，样本集合的不确定性程度越高。分类学习过程的本质是样本不确定性程度的减少（即熵减过程），故应选择最小Gini指数的特征分裂。父节点对应的样本集合为\(D\)，CART选择特征\(A\)分裂为两个子节点，对应集合为\(D_L\)与\(D_R\)；分裂后的Gini指数定义如下：
\begin{equation}
G(D,A)={\left|{D_L} \right| \over \left|{D} \right|}Gini(D_L)+{\left|{D_R} \right| \over \left|{D} \right|}Gini(D_R)
\end{equation}
其中，\(\left| \cdot \right|\)表示样本集合的记录数量。如上图中的表格所示，当Annual Income的分裂值取87时，则Gini指数计算如下：
\[ \frac{4}{10} \left[ 1- (\frac{1}{4})^2- (\frac{3}{4})^2 \right] + \frac{6}{10} \left[ 1- (\frac{2}{6})^2- (\frac{4}{6})^2 \right] = 0.417 \]
CART算法
CART算法流程与C4.5算法相类似：
- 若满足停止分裂条件（样本个数小于预定阈值，或Gini指数小于预定阈值（样本基本属于同一类，或没有特征可供分裂），则停止分裂；
- 否则，选择最小Gini指数进行分裂；
- 递归执行1-2步骤，直至停止分裂。
3. CART剪枝
CART剪枝与C4.5的剪枝策略相似，均以极小化整体损失函数实现。同理，定义决策树\(T\)的损失函数为：
\begin{equation}
L_\alpha (T)=C(T)+\alpha \left| T \right|
\end{equation}
其中，\(C(T)\)表示决策树的训练误差，\(\alpha\)为调节参数，\(\left| T \right|\)为模型的复杂度。
CART算法采用递归的方法进行剪枝，具体办法：
- 将\(\alpha\)递增\(0={\alpha}_0<{\alpha}_1<{\alpha}_2<\cdots<{\alpha}_n\)，计算得到对应于区间\([\alpha_{i},{\alpha}_{i+1})\)的最优子树为\(T_i\)；
- 从最优子树序列\(\lbrace T_1,T_2,\cdots,T_n \rbrace\)选出最优的（即损失函数最小的）。
如何计算最优子树为\(T_i\)呢？首先，定义以\(t\)为单节点的损失函数为
\[ L_\alpha (t)=C(t)+\alpha \]
以\(t\)为根节点的子树\(T_t\)的损失函数为
\[ L_\alpha (T_t)=C(T_t)+\alpha \left| T_t \right| \]
令\(L_\alpha (t)=L_\alpha (T_t)\)，则得到
\[ \alpha = {C(t)-C(T_t) \over \left| T_t \right|-1} \]
此时，单节点\(t\)与子树\(T_t\)有相同的损失函数，而单节点\(t\)的模型复杂度更小，故更为可取；同时也说明对节点\(t\)的剪枝为有效剪枝。由此，定义对节点\(t\)的剪枝后整体损失函数减少程度为
\[ g(t) = {C(t)-C(T_t) \over \left| T_t \right|-1} \]
剪枝流程如下：
- 对输入决策树\(T_0\)，自上而下计算内部节点的\(g(t)\)；选择最小的\(g(t)\)作为\({\alpha}_1\)，并进行剪枝得到树\(T_1\)，其为区间\([{\alpha}_1,{\alpha}_2)\)对应的最优子树。
- 对树\(T_1\)，再次自上而下计算内部节点的\(g(t)\)；……\(\alpha _2\)……\(T_2\)……
- 如此递归地得到最优子树序列，采用交叉验证选取最优子树。
关于CART剪枝算法的具体描述请参看[1]，其中关于剪枝算法的描述有误：
(6)如果T不是由根节点单独构成的树，则回到步骤(4)
应改为回到步骤(3)，要不然所有\(\alpha\)均一样了。
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李航老师已经在勘误表给出修改了。
4. 参考资料
[1] 李航，《统计学习方法》.
[2] Pang-Ning Tan, Michael Steinbach, Vipin Kumar, Introduction to Data Mining.
[3] Dan Steinberg, The Top Ten Algorithms in Data Mining.