读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间

读书笔记: 博弈论导论 - 02 - 引入不确定性和时间

前言

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

术语

• 概率分布函数(probability distribution function)
  一个简单投机(lottery)(行动\(a \in A\))在结果 $ X = { x_1, x_2, \cdots, x_n }$上的概率分布记做
  \[ p = (p(x_1|a), p(x_2|a), \cdots, p(x_n|a)), \\ where \\ p(x_k|a) \geq 0 \text{: the probability that } x_k \text{ occurs when take action a} \\ \sum_{k=1}^n p(x_k|a) = 1 \]。

• 累积分布函数(cumulative distribution function)
  一个简单投机(lottery)行动\(a \in A\)，在结果区间\(X = [\underline{x}, \overline{x}]\)上的累积分布函数：
  \[ F : X \to [0, 1] \\ where \\ f(\hat{x} | a) = Pr{x \leq \hat{x}} \text{: the probability that the outcome is less than or equal to } \hat{x}. \]

• 期望收益(expected payoff from the lottery function)
  一个简单投机(lottery)行动\(a \in A\)，在结果区间\(X = [x_1, x_2, \cdots, x_n]\)上的期望收益函数：
  \[ E[u(x)|a] = \sum_{k=1}^n p_k u(x_k) \\ where \\ u(x) \text{: the payoff function} \\ p = (p_1, p_2, \cdots, p_n) \text{: probability distribution} \]

• 连续案例：期望收益(expected payoff from the lottery function)
  一个简单投机(lottery)行动\(a \in A\)，在结果区间\(X = [\underline{x}, \overline{x}]\)上的期望收益函数：
  \[ E[u(x) | a] = \int_{\underline{x}}^{\overline{x}} u(x)f(x)dx \\ where \\ u(x) \text{: the payoff function} \\ f(x|a) \text{: the cumulative distribution function} \]

• 经济人2
  我们称一个人是理性的，如果这个人选择最大期望收益。
  \[ \text{choose } a^* \in A \iff v(a^*) = E[u(x)|a^*] \geq E[u(x)|a^*] = v(a), a \in A \]

考虑次序和时间

• 逆向归纳法(backward induction)
  或者称为动态编程(dynamic programming)。
  就是说在连续的随机案例下，从后向前，每个简单的投机，
  都使用最大期望收益推算其投机行为，作为投机的计算行为，向前计算。

• 折扣合计期望(discounted sum of future payoffs)
  \[ v(x_1, x_2, \cdots, x_n) = \sum_{t=1}^{T} \delta^{t-1} u(x_t) \\ where \\ T \text{: period} \\ u(x) \text{: the payoff function of outcome x} \\ \]

风险态度

• 中立风险 - risk neutral
  认为同样期望回报的价值相同。

• 厌恶风险 - risk averse
  倾向于一个确定性的回报，不愿意采用一个拥有同样期望回报的不确定性方案。

• 喜爱风险 - risk loving
  更严格地倾向于采用拥有同样期望回报的赌注。

到现在，基本上就是强化学习。

参照

• Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis)
• 读书笔记: 博弈论导论 - 01 - 单人决策问题