Polya计数

概述

Polya定理或者更多时候Burnside引理是用来解决等价类计数的有力手段

考验构造能力

等价类计数

定义

通过某些操作相同称为等价，等价的只算一次

性质

• 自反性
• 对称性
• 传递性

这几个性质间接说明了，关于这些操作，不同的等价类是一个群

\(e.g.\)
1.由\(a,b\)构成的长度为\(2n\)的串，翻转同构计数

• 回文串:前一半与后一半对应:\(2^n\)
• 非回文串，两两配对:\(\frac{2^{2n}-2^n}{2}\)

\(Ans=2^n+\frac{2^{2n}-2^n}{2}=\frac{2^{2n}+2^n}{2}\)

这给了我们一种思路，为每个元素分配权重:不能让这个元素变化的操作方法数

2.四方块问题:\(2*2\)红蓝涂色方格旋转同构

首先说明一个问题,虽然"旋转"这个操作有无数种，但旋转\(\pi\)与\(-\pi\)这样同样效果的变换只会算一种,而且旋转后不符合条件的(如旋转不是\(90\)倍数度)也不算进去，因此这题中合法的就只有\(4\)种旋转方法

真实情况:

分配权重后(每一列都是一个等价类):

Burnside引理

对刚才那题，如果变成\(3*3\)甚至\(4*4\)方格，枚举元素就很困难了

考虑转换枚举对象，枚举少的，算出多的

具体而言就是枚举数量比计数对象更少的变换:转枚举使得元素不动的变换(稳定核)为枚举使得变换作用下点不变的元素(不动点)

数学化的

设\(G\)为置换群(就是不同变换和二元运算:"复合"，组成的群)

等价类计数\(=\displaystyle \frac{1}{|G|}\sum_fC(f)\)

证明部分

留坑

例题

留坑