为什么哈希函数要模质数

哈希函数一般都要取模，取模一般都要取质数，那么为什么一定要取质数呢？

做如下分析：

概念与公式

设我们通过哈希函数得到的未取模的值为X，一质数模数为a，非质数模数为b，X对a取模后的结果为Ya，对b取模后的结果为Yb

则有

\[ Y_a\equiv X \pmod a \\ Y_b\equiv X\pmod b \\ c(x \; mod \; y)=(cx)\; mod \; (cy)\\ (a+b)\; mod \; p=(a\; mod\; p+b\; mod\; p)\;mod \;p \]

以上公式与概念均已被证明，是推论的基石

假设所有X随机出现，则有

• 模质数时：
  \[ Y_a \in [0,a-1],均匀分布 \]

• 模合数时：
  \[ Y_b \in [0,b-1],均匀分布 \]

假设X成公差为m的等差数列出现,且m与b存在公因数c，则有

• 模质数时：
  \[ 记首项为X_1,第i项为X_i,第i项取模后得到Y_i,则\\ \begin{equation} \begin{aligned} Y_i&=(X_1+(i-1)m)\;mod\;a\\ &=(X_1\; mod \; a+((i-1)m)\;mod\;a)\;mod\;a\\ &=(Y_1+k_i)\;mod\;a\qquad\qquad\qquad,k_i\in[0,a-1] \end{aligned} \end{equation} \]
  可见仍有
  \[ Y_i\in[0,a-1] \]

• 模合数时：
  \[ \begin{equation} \begin{aligned} Y_i&=(X_1+(i-1)m)\;mod\;b\\ &=(X_i\; mod \; b+((i-1)m)\;mod\;b)\;mod\;b\\\ &=(Y_1+(i-1)(m/c)\;mod\;(b/c))\; mod \;b\\ &=(Y_1+k_i)\;mod \;b\qquad\qquad\qquad,k_i\in[0,b/c-1] \end{aligned} \end{equation} \]
  可见Yi取值范围缩小到了原来的1/c，即成等差数列的X每隔b/c-1个数据就会出现一次冲突

以上就是公式推导，下面可以用实验证明一下

数据实验

以一组以108为首项，27为公差的等差数列观察，有如下结果:

可以看到，模合数的情况下每隔2项就会发生一次碰撞，而模质数的情况下没有发生碰撞，这样的例子还有很多，读者可以自行枚举实验，相信这个例子已经可以说明问题了

总结

之所以要模质数是因为对于特殊数据合数会发生大量碰撞，而质数可以避免这种情况
以上。