10.勾股定理

这个定理的重要性不必多说。整个中国古代的图形算法都以勾股定理为基础。有时，也叫陈子定理，或者商高定理。这是学习外国人，用人名来命名定理。如果不用人名，就叫做勾股定理。

勾股定理的传统证明

直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。

证明：如图，取四个全等的直角三角形，如风车形，拼接。

因为，直角三角形的两个锐角和为直角，所以能够拼成四个直角。

(能够拼接成正方形，需要严格证明，古人未证，此处略说明：前三个三角形，无疑，可以拼接出大致轮廓，第四个三角形拼接时，可以保证形成中间的小正方形，那么，它的斜边为什么不会超出或缩入范围呢？而是巧合对齐？用反证法可证，只要超出或者缩入，就无法同其它三角形全等。)

斜边在外围，成为外面大正方形的边。设直角三角形斜边为c，则大正方形面积为

中心小正方形的边长为两直角边的差。设两个直角边分别为a和b，则中间小正方形的面积为

而四个直角三角形的总面积是：

大的正方形面积等于中心小正方形加四个直角三角形，所以

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三角形内角和定理和勾股定理，是最具欧氏特色的定理。等价于第五公设。