（5.5）James Stewart Calculus 5th Edition：The Substitution Rule

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The Substitution Rule 替换规则

找到 不定积分 很重要，但是很多时候
很难直接找到对应的 不定积分
比如说：

这个时候，如果我们设

那么

那么，这个时候，我们可以利用u来替换，得出结果

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由 链式法则

我们可以得到：

如果这里，我们用 u = g(x) 去替换
则

或者 把 F' 写成 f，则

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The Substitution Rule 替换法则

如果 u = g(x)，则

最后转化为 du 和 dx 的运算

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例子

下面是一些例子

例子1

我们设

由

可以得到对应的替换

所以：

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例子2

• 解法1
  设

  
  
  
  
  

  则

  
  
  
  
  
  
  
  所以：
  
  

  Paste_Image.png

• 解法2
  设

  
  
  
  
  

  则：

  
  
  
  
  
  
  
  所以：
  
  

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例子3

设

则

所以

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例子4

设

则

所以：

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例子5

设

则

有：

所以：

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例子6

因为sinx 的 导数 为 cosx， 则可以想到

则：

所以：

对应的自然对数，可以化简成：

所以，可以推导出

tan的不定积分

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Definite Integrals 定积分

定积分，也就是按不定积分变化，在带入值去计算值

The Substitution Rule for Definite Integrals 定积分变化法则（定理6）

同理，有

注意：
这里
自变量改变，对应范围也会改变
不定积分的上下限，由 [a, b] 变为了 [g(a), g(b)]

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例子

一些例子

例子7

设

有

这里对应的函数的连续可导的，但是，有定理6
需要注意：
自变量改变，对应范围也会改变
当x=0时， u=1； 当x=4时， u=9
所以

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例子8

设

则

而，对应的范围
由x的[1, 2] 变为 [-2, -7]
所以：

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例子9

设

则

而，对应的范围
由x的[1, e] 变为 [0, 1]
所以：

对应的图像为：

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Symmetry 对称

由前面的替换法则，可以有

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• 证明：

我们可以把对应的过程，分为2部分：

设

对应的范围，由x的[0, -a] 变为 [0, a]
所以：

即：

这个时候，

• 如果 f(x) 是 偶函数，有

  
  
  
  
  

  则

  
  
  

• 如果 f(x) 是 奇函数，有

  
  
  
  
  

  则

  
  
  

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例子

一些例子

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例子10

因为

是偶函数，有

所以：

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例子11

因为

是奇函数，有

所以