矩阵论大盘点

最近几周要期末考试了，虽然感觉不会挂科，但还是想把自己成绩搞好些，对拿奖学金有帮助，也间接的对简历的填充有帮助。

后天就要考矩阵论了，打算把每一章的重点罗列下来，也算是从大局上把握，重点再现~

首先还是得说说研究生阶段的矩阵论就是大学里面线性代数的深入课程，对今后的学术研究还是有一定的帮助的，虽然未来可能不会读博，但是这种理科数学的思维还是得好好锻炼。

第一章是线性空间与线性变换。线性空间是对所有与n维向量空间R具有同样性质的客观事物的数学抽象。线性变换是线性空间V映入刀自身的一种特殊的映射。里面重要的是第二节基，坐标与维数，设V是一个线性空间，若果存在n个向量a1,a2.....an属于V,那么满足
（1）他们之间线性无关。
（2）V中任意向量都可由他们线性表示。
就称a1，a2....an是线性空间V的一组基，n称为线性空间V的维数。
这也是后面章节的基础。

这一章可能考的题目有：1.给一个线性空间（或者子空间）的方程式，要你求基，维数或者坐标。维数好求，如果一个方程，直接看他未知量有几个，假设n个，那么如果有一个方程，就是n-1维。求基，根据线性空间的构成规律，找出其中的一组特殊元素，使得线性空间的一般元素都可以由这组元素线性表示。若这组元素线性无关，则他就是线性空间的基。

倘若是求V1+V2，V1交V2的基和维数，那么就要利用span（）来求相加的基，两个空间相交，是针对元素的，那么就是线性表示以后，反过来求解，有个方程求出来。

2.求线性变换的矩阵，直接按照对应法则求就好，求出之后把列向量作为矩阵的列向量。

3.小题可能会出值域与核，值域的定义就是一个对应法则，从原像a映射到T（a），这个就是值域，那么让值域T（a）为0的时候的这个a就是核，之间还有投影的关系。

4.证明两个空间V1，V2他们是相等的或者等价的。怎么做？方法一：证明V1属于V2，V2也属于V1，也就是相互包含。方法二：证明一层包含关系即V1属于V2，在证明两个空间的维数相等即可。

5.求证是否是直和，那就是利用直和的定理来证明。

第二章是内积空间和等距变换，主要就是一个标准正交基，斯密特正交化的公式，还有一个正交子空间和直和的关系。还有就是定理2.6的等距变换的一个重要定理。

第三章是矩阵的Jordan标准型，从1.2章的空间转到矩阵上来了，主要考题就是求Jordan标准型，最小多项式的方法，注意不变因子，初等因子的关系区别。还有一个重要定理3.11：n介矩阵A可以对角化的充要条件是A的最小多项式无重根。

因为这一章主要就是想讲当矩阵不能化为对角阵的时候的情形，因为就演化出了一个这样的Jordan标准型来。

第四章矩阵分解，主要考点：1.满秩分解，2.QR分解，这里就要运用到第二章的斯密特正交化，注意QR分别是什么，3.矩阵的奇异值分解，这个也一定会考，注意例题4.9

第五章是矩阵分析，小题目很多，主要是向量范数和矩阵范数，这些公式一定要牢记。注意谱半径的意义，之后就是矩阵序列和矩阵级数。出大题的内容是最后的矩阵函数，要用到第三章的最小多项式的内容。

最后一章第六章是矩阵的广义逆，要会求加号逆，还有分相容和不相容情况下的解。如，相容的时候就是极小范数解，不相容的时候就是极小范数最小二乘解，注意通解都是齐次的通解加上非齐次的特解~

考点都已经涵盖，接下来还要再做做题，争取拿到一个好成绩。可能这周的作业对战友来说看不懂，还请见谅。可能这几周都没有安排好时间，很多想学的都没学，区块链都已经在我脑海里响了很久，就是不行动，这就是为什么别人可以发财，我却是一个穷人的原因吧。也许也不绝对，不一定必须投资区块链，但是这种执行力还是差了十万八千里。加油吧！学业先第一！