几种求素数与验证素数的方法

博主刚写了一篇Luogu T1125的解题报告，里面涉及到欧拉筛法。本篇博文会介绍一些素数筛法和素数验证法。

博主的数论并不是特别好，各路大神轻点喷

素数筛法

1. Eratosthenes筛法

又名:埃拉托斯特尼筛法
时间复杂度：$O(nlog_{2}{log_{2}n})$
难度：☆

具体代码：

memset(check,false,sizeof(check));
int tot=0;
for(int i=2;i<=n;i++)
    if(!check[i])
    {
        prime[++tot]=i;
        for(int j=i*2;j<=n;j+=i)//i的倍数都不是素数
            check[j]=true;
    };

2. Euler筛法

又名：欧拉筛法、线性筛法
时间复杂度：$O(n)$
难度：★

具体代码：

for(int i=2;i<=m;i++)
{
    if(!check[i])prime[++tot]=i;
    for(int j=1;j<=tot;j++)
    {
        if(i*prime[j]>m)break;//超了范围就不做了，减少运行时间
        check[i*prime[j]]=true;//一个数乘另一个数所得到的数一定不是素数
        if(i%prime[j]==0)break;//此时i是一个合数，退出
    };
};

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验证素数

普通验证素数法

时间复杂度：$O(\sqrt n)$
难度：☆

bool flag=true;
for(int i=1;i<=trunc(sqrt(prime));i++)
    if(prime%i==0)flag=false;//置不是素数标志

Miller-Rabin

时间复杂度：$O(k*log_{2}n)$ k是次数(见下文)
难度：★★★

这里只说明一下原理，关于代码，自行百度吧。

• 根据费马小定理，随机选一个数$a\in(1,p)$，若$a^{p-1}\equiv1$(mod p)则很有可能是素数。多次尝试（尝试k次）若都成立若都成立则判定为素数。
• 但是合数也有可能能通过这一测试：Carmichael数
• Carmichael概念：
  　　卡迈克尔数是一种合数，使得对于所有跟n互质的整数a：$a^{n-1}\equiv1$(mod n)
• 这种数用此方法测试时，除非random出其因子，不然都无法判断为合数。例如：6。
• 二次探测定理：若n为素数，方程$x^2\equiv1$(mod n)小于n的正整数解只有$x=1$和$x=n-1$。
• 先计算出m、j，使得$n-1=m*2^j$且j尽可能大。
• 随机选一个数$a\in(1,n)$
• 计算x=$a^m$mod n
• 然后将x不断平方j次，重复如下步骤：
  　　1. 计算y=$x^2$mod n
  　　2. 如果y=1并且$x\neq1,n-1$，此时一定不是素数，退出测试
  　　3. x=y；
  　　4. 如果y=1，暂时认为是素数，回到2.继续下一轮
  若上述计算中没有满足2.和4.而正常退出，即不满足$a^{n-1}\equiv1$(mod n)，一定不是质数

Ps.此方法参考了陈淙靓在清北学堂的课件

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