矩阵乘法为什么定义为行乘以列？

矩阵相乘还是矩阵，对应矩阵位置相乘是标量值！

矩阵，大家上过《线性代数》的同学都知道是一堆的大括号，一堆的数据。为什么线性代数会与矩阵有关系，下面内容将告诉大家，矩阵的来源，矩阵的使用以及矩阵的乘法的定义。

学线性代数的时候，听着懵懵的，一上来老师就开始讲逆序数、行列式，周围的小伙伴们都在记定理，背公式。后来经常逛博客，逐渐了解了线性代数中的一些定理的意义，上中科院李老师矩阵论时，李老师又深刻讲了一遍，下面是李老师的总结，分享给大家。

对于矩阵，我们今天简单说一下矩阵的乘法。设两个矩阵Am×p=[aij]，Bp×n=[bij]，定义矩阵C=AB为矩阵A和B的乘积，其中

也就是说，矩阵C中每一个元素cij为矩阵A的第i行与矩阵B的第j列相乘得到。这就是矩阵乘法的定义，在学习线性代数的时候，老师就是这么教的，而且大家也就这么习以为常，估计至今为止也没有人对这个定义有一点点的疑问。我的问题很简单，为什么矩阵乘法的定义是这样，而不是类似矩阵加法（对应元素相加）一样，矩阵的乘法定义为两个矩阵对应元素相乘？

相信每一个人被问到这个问题，都会说：“是啊，为什么？”那么下面我们就来说明一下为什么这样定义矩阵的乘法。

1855年，英国数学家Arthur Cayley (1821-1895) 把矩阵从行列式理论剥离出来，讨论了矩阵的相关运算，创立了矩阵理论。Cayley最早讨论矩阵相关运算是从线性函数开始的（矩阵和线性函数在某种意义上，可以一一对应的），比如下面两个线性函数：

复合这两个函数会得到

Cayley最早的想法是用矩阵表示这样的线性函数，即函数f,g,h可以分别表示为如下的矩阵形式：

当然了，矩阵H也被成为矩阵F和矩阵G的复合（或乘积），即：

这也正是我们现在熟知的矩阵乘积的定义。并且由于和线性函数的对应关系，使得这种定义更加实用。

相信，如果我们每一个人生活在19世纪——矩阵出现的时代，让你定义矩阵的乘法，你很自然地会想到用两个矩阵对应元素相乘来定义矩阵的乘法，毕竟这个是最自然、最直接的想法。但是它并不是最实用的。

大学的课程是不是很有意思呢？

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