2018考研数学高等数学基础

任务：

（1）熟记基本概念、定理、公式（怎么用到题目中去，方法）

（2）掌握基本方法和技术（一些特殊性）

（3）培养基本计算能力（不要眼高手低）

        ①极限计算 ②求导 ③求积分

目标：

（1）建立基础知识结构

（2）形成基础数学素养

第一讲 极限

核心考点：

（1）定义（6×4+1=25个 4′）

（2）性质 （3个 4′ ）

（3）计算（4′+10′ 函数极限、数列极限）

（4）应用（4′ 连续与间断）

一、极限定义（6×4+1=25）熟记于心

1.函数极限

2.数列极限（n为自然数，n趋于无穷专指正无穷，而略去“+”不写）

［例题］会写定义；会作递推不等式

二、极限性质（3大）

1.唯一性［证（反证）］

［例题］考点：左右有别

2.局部有界性［证（用到中学不等式）］

［例题］讨论函数在区间I上的有界性，两个方法：①连续函数在该区间必有界；②若为开区间，则用三段论

3.局部保号性［证］

对极限的真正理解：即使你给我整个世界，我也只在A的身边

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三、极限计算  4′+10′ （压轴）

1.函数极限计算

①七种未定式

［注］0不是0、1不是1

②计算工具

（1）洛必达法则（三个条件）

［注1］能不能用，用了再说；若不存在，另谋他法

［注2］常见等价无穷小（7个一次、2个二次、4个三次、1个四次）

［注］化简方式：

①等价无穷小替换

②及时提出极限不为0的因式

③恒等变形（有理化、提公因式、加减乘除）

第一组（0/0，∞/∞，∞×0）

［例1］化简先行  “见根号-根号，想有理化”

［例2］分子上指数函数相减  ex-ex，提出分子后边的因式

［例3］0×∞ 化为∞/∞或0/0注意分母选择

设置分母有原则，简单因式才下放

［注］下图中等价无穷小常用

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第二组（∞-∞）

①有分母，则通分

［注］熟记各种三角公式

②没有分母，创造分母，再通分

［注］牢记：令x=1/t 倒代换

第三组（∞0,00,1∞）

幂指函数，底和指数都是函数

此类问题的求解方法：化为e为底的幂指函数

（2）泰勒公式（考研的等价替换只考到了3次方）

［注］下图为常见泰勒公式

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［例1］见到A/B型，用“上下同阶”展开原则

［例2］见到A-B型，用“幂次最低”展开原则

［例3］下图为抽象函数求极限方法

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2.数列极限计算

（1）若Xn易于连续化，转化为函数极限计算即可［依据］（连续变量和自然数）

［例］记x为连续变量

（2）若｛Xn｝不易于连续化，用“夹逼准则”（或定积分定义）（重点，区分学生）

［例1］只动分母，不动分子

［注］夹逼准则不验证等号

［例2］n充分大时，利用函数“天生的有界性”

（3）若｛Xn｝由递推式Xn=f（Xn-1）给出，用“单调有界准则”  （难 区分度高  10′）

考查点：

①单调性的证明（前后项相减或相除）

②有界性（上界还是下界，通过题目探索，是放缩问题）

［例］先探索前几项，找规律+第一数学归纳法

四、应用——连续与间断

1.基本常识

任何初等函数在其定义区间内都是连续的，故考研中只研究两类特殊的点：

①分段函数的分段点（可能间断）

②无定义点（必然间断）

2.连续的定义

［注］三者相等，才连续

3.间断的定义

前提：f（x）在x=x0点的某去心邻域有定义

跳跃——只和极限值有关，与函数值无关

面积不因这一点而改变

［注］

①注意前提：单侧定义不讨论间断性

②若出现左侧震荡间断，右侧无穷间断，分侧讨论

［例］分段函数在分段点连续，求参数值

送分题10％  中等题80％  送命题10％