第二章我们来学习椭圆曲线。后面我们会把椭圆曲线和有限域结合起来，得到我们强大的武器Elliptic curve cryptography。
就像有限域一样，如果你之前没见过，可能会被椭圆曲线吓退啦。但是，实际上没有那么困难哦。大多数我们所需的知识都已经学过了。这章，我们将探索这些曲线是什么，并且能够用来做什么。
定义：
椭圆曲线就跟其他方程式一样啦，一边是y，一边是x。如下：
果然一样吧！就像以前我们学的线性方程一样，m是斜率，b是截距：
二次三次也来了！
这些图像都还是很熟悉的。
椭圆曲线也没有什么不同~只是左边是y^2，这使得两个正负的y值对应的是同一个x，所以图像是关于x轴对称的。
椭圆曲线没三次函数那么陡峭，因为有个y^2，很好理解。有时，曲线也可以是割裂开的，这里就不举例子了。椭圆曲线可以被看作把一个三次函数x轴以上的部分，变平一点，然后做一个镜像。这里可以参考原文，还有几张图描述了过程，很清晰。
在比特币中使用的椭圆曲线叫secp256k1，方程如下:
Coding Elliptic Curves in Python
我们对曲线本身其实并不感兴趣，感兴趣的是其上的点。比如，上面的曲线，我们感兴趣一个坐标（-1，1）。我们将定义class Point作为椭圆曲线上的一个点。
因为椭圆曲线有着标准形式：
所以，只用两个变量a和b就能定义曲线。
在第二章的代码ecc.py中，
- 可以check一个点是否在曲线上
- 两个点的坐标和曲线相等 ，才是两个相等的点
当我们创建Point对象时，如果点不在曲线上，也就是传入的x和y与a和b不符合，就会抛出异常。
参考examples.py。
Point Addition
椭圆曲线上的点的加法对我们很有用，两个曲线上的点相加得到第三个点，同样在曲线上。这被叫做加法是因为和普通的加法有相似之处，比如也是可交换的。A点+B点等于B点+A点。
对于每个椭圆曲线来说，一条直线除了在是切线和垂直的情况下，要么和曲线有一个交点，要么有三个交点。我们把point addition定义为：
- 找到一条线穿过两个点之后的第三个点
- 对第三个点关于x轴reflect一下
图上可以说是很清晰了。我们可以用到这样特殊定义的加法的一个属性是，这样得到的点是不好预测的。我们可以用公式足够简单的计算Point addition，但是直觉上，给定两个点，第三个点可以出现在任何地方。比如A+B得到的是两个点右边的一个点，而A+C就会得到B的关于X轴的对称点，which在A和C之间，B+C会得到B和C左边的点。用数学术语来说，point addition是非线性的。
Math of Point Addition
point addition也满足普通加法的若干性质，比如：
- Identity 也就是存在一个点I + A = A（跟0一样）这个点我们叫做infinity （无穷远点，并不在椭圆曲线上）
- Commutativity 对于一个点A，存在-A 使得A + (-A) = I
- Associativity 可交换性 A + B = B + A
- Invertibility 可结合性 (A + B) + C = A + (B + C) （这里原文示意图很生动）
那么为了code我们的point addition,我们就要分三种情况：
- 两个点在垂直线上或者有点是infinity
- 两个点不在垂直线上，并且是不同的
- 两个点相同
Coding是很简单的，然后就是用公式推导出第三个点的坐标，可以参考原文，都是很简单的数学，大致就是先求出两个点的直线方程，再联合曲线方程求出第三个点的坐标。
注意有一个edge case，就是在两个点相同的情况下，如果两个点正好都是曲线最左端的点，也就是y坐标都为0，得到的切线是垂直的，那么返回无穷远点。
Conclusion
我们现在已经学习了椭圆曲线是什么，怎么做point addition。我们马上就要结合有限域和椭圆曲线来做ECC啦~
参考:
https://github.com/jimmysong/programmingbitcoin/blob/master/ch02.asciidoc