Hackrank 统计十日通(第二天) 基础概率

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以下加粗术语对完成今天的题目非常有用.

事件Event, 样本空间Sample Space 和 概率 Probability

在概率论中, 一个实验是一个可以无限重复的过程, 且输出一组被明确定义的可能结果, 结果的集合称为样本空间(sample space), S. 我们定义一个事件(event)为一次实验的一系列结果(也就是S的一个子集), 一个事件A出现的概率(probability)的数值就是:

P(A) = 期望的结果的数量 / 所有的可能的结果数量

概率有两个最基本的定律:

1. 任何概率,P(A),是一个在0和1之间的数组(例如: 0≤P(A)≤1)
2. 整个样本空间S的概率是1, (例如: P(S) = 1)

那么怎么填补事件A的概率P(A)和样本空间之间的关联呢? 简单地说, 已知P(A)是事件A会发生的概率, 那么我们定义P(A')(也可以写成P(A^c))为事件A不会发生的概率(概率P(A)的补集). 如果我们的样本空间由事件A的出现的概率和不出现的概率组成. 我们可以说P(A) + P(A') = 1, 或者事件A所有可能的结果在该样本空间中的和是1. 这引出概率论第三条基本定律:P(A') = 1 - P(A)

例子1

找出扔一个6面骰子,得到奇数的概率

由命题可得

• 实验: 扔一个6面的骰子
• 样本空间S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
• 事件(A): 得到奇数(例如, A = {1, 3, 5})

如果我们回头看概率的公式,我们可以说

P(A) = 期望的结果的数量 / 所有的可能的结果数量 = |A|/|S| = 3/6 = 1/2

问题1

一次扔两个6面的骰子, 找出他们的和最大不超过9的概率.

1. 2/3
2. 5/6
3. 1/4
4. 1/6

解

我们定义E为投两个骰子的结果之和大于9的事件. 满足E的定义的结果集是:{(4,6),(5,5),(5,6),(6,4),(6,5),(6,6)}, 我们可以用这个得到:

P(E) = |E|/|S| = 6/36 = 1/6

我们想得到扔两个6面的骰子结果之和不超过9的事件, 因为我们已经知道P(E)是之和大于9的概率, 是占有剩下的样本空间,我们就可以计算出

1 - P(E) = 1 - 1/6 = 5/6