HALL定理

Hall 結婚定理(Hall’s Marriage Theorem)與其應用─此定理由英國數學家Philip
Hall 提出。令 V  與W   為兩個分開的族群，但 V  至W 之間有連線，令 V  的任一
個部份集合的元素個數為S，而其連線至 W 的對應的個數為R( S)。如果| S| | R( S)|，
則V  的每一個元素都可在W 中找到一個專屬於自己的對應。

Eg. 某婚友社想要撮合 3 個男生：周杰倫( a)、劉德華( b) 、蘇友朋( c)  與 4 個女
生：林志玲( r ) 、侯佩岑( s ) 、林嘉綺( t ) 、白歆惠( u) 。如果周杰倫喜歡林志玲與侯
佩岑，劉德華喜歡侯佩岑與白歆惠，蘇友朋喜歡林志玲、林嘉綺與白歆惠，那麼
是否每個男生都可以配到心愛的女人？
(解)： 如果  S
1
={a,b,c }，則  R( S1
)={ r ,s ,t ,u}，於是
| S
1
|=3<4=|R(S1
)|
如果 S2
={a,b} ，則 R( S2
)={ r ,s ,u} ，於是
| S2
|=2<3=|R(S2
)|
如果  S3
={a,c } ，則R( S3
)={ r ,s ,t ,u}  ，於是
| S3
|=2<4=|R(S3
)|
如果S4
={b,c } ，則R( S4
)= {r ,s,t ,u}  ，於是
| S4
|=2<4=|R(S4
)|
∴  每個男生都可以配到心愛的女人！

 

 
Eg.  某婚友社想要撮合3 個男生：金城武( a)、彭政閔( b) 、張家浩( c)  與 4 個女
生：柯以柔( r ) 、許純美( s ) 、蔡淑臻( t ) 、如花( u) 。如果金城武喜歡柯以柔與蔡淑
臻，彭政閔只喜歡蔡淑臻，張家浩喜歡柯以柔與蔡淑臻，那麼是否每個男生都可
以配到心愛的女人？ 
(解)：如果  S={a,b, c } ，則  R( S)={ r ,t } ，於是
| S|=3>2=|R(S)|
∴無法每個男生都可以配到心愛的女人！
例如金城武娶柯以柔而彭政閔娶蔡淑臻，則張家
浩就娶不到心愛的女人。同樣地，如果張家浩娶
柯以柔而彭政閔娶蔡淑臻，  則金城武就娶不到心
愛的女人。