2017-11-26

8．整数系中的代数问题和代数方法简介

  1）解代数方程的基本原理和未知数x的引入．

          从小学学习算术到初中学习代数，可以看出代数是算术进步而来的，如在小学算术所学的四则运算应用题：年龄问题、鸡免同笼问题等。下面我们以鸡免同笼作为典例来分析这种变化。设一个笼子里关有m只鸡和兔，共有n只足，笼子里有多少只鸡和兔？用代数的方法，设有x只鸡，y只兔，则所给问题的数量关系可以写成两个代数方程构成一个方程组：

                  (i)．x＋y＝m    (1）

                        2x＋4y＝n    (2)

但在算术中虽然不用x、y这样的符号，却也可以同样写成：

                (ii)  ．鸡＋兔＝m(头数)

                          2x鸡＋4X兔＝n(足数)

由此可见，到此为止，代数和算术毫无本质上区别，只不过是我们把具体的物和事用抽象的未知数x、y来代替。下面我们取m＝15，n＝38，用小学算术方法：假设全是鸡，则足数＝2x15＝30，则与实际足数相差8，其原因是把兔当成了鸡所以兔数＝8/2＝4，写成算式：兔数＝(38－30)/2＝4；鸡数＝15－4＝11

用代数方法：将方程组(i)中的(1)式的x＝15－y代入(2)式

4y＋2x(15－y)＝38

2y＝38一30

y＝4      所以x＝11

但是从代数方程中我们可以分析x、y与m、n之间的整数关系，这里x、y、m、n均为正整数，在方程组(i)中d＝(4、2)＝2必须整除n，即n必须是偶数，若n/(4、2)为奇数，则x(鸡)为奇数，若n/(4、2)为偶数，则x(鸡)为偶数。