ACM HDU 4002 Find the maximum（2011年大连赛区网络赛第二题）

题目链接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4002

本文作者：kuangbin

作者博客:www.cnblogs.com/kuangbin

     转载请注明出处。否则违法必究。。。保留最终解释权~~~~

通过发现规律其实很简单。

先是把前i个素数的乘积求出来，结果就是不超出n的素数和。

题意：给出一个整数n，求一个数x，x在1到n之间，并且x/φ(x)最大(其中φ(x)为x的欧拉函数)。
思路：
由欧拉函数为积性函数，即：如果gcd(m , n) == 1,则有φ(m * n) == φ(m) * φ(n);且由φ(p^k) == (p - 1) * p^(k - 1)，可得
φ(n) == φ(p1^k1 * p2^k2 * p3^k3 * … * pt^kt)
      == φ(p1^k1) * φ(p2^k2) * φ(p3^k3) * … * φ(pt^kt)
      == (p1 - 1) * p1^(k1 - 1) * (p2 - 1) * p2^(k2 - 1) * (p3 - 1) * p3^(k3 - 1) * … * (pt - 1) * pt^(kt - 1)
      == p1^k1 * (1 - 1/p1) * p2^k2 * (1 - 1/p2) * p3^k3 * (1 - 1/p3) * … * pt^kt * (1 - 1/pt)
      == n * (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * (1 - 1/p3) * … * (1 - 1/pt)
于是有
f(n) == n/φ(n) == 1 / [ (1 - 1/p1) * (1 - 1/p2) * (1 - 1/p3) * … * (1 - 1/pt) ]   (1)
由 (1)式 可知:要使f(x)最大，须使x含尽量多的不同素数因子。

 

样例，n=10,结果是6=2*3，n=100时，结果为30=2*3*5；

分析可知，先把从2开始的连续素数的乘积存在数组cc[][]中。然后找到一个不超过n的最大的cc[][]就是答案了。

 

直接看代码吧！不解释！

 

 

#include<stdio.h>
#include<string.h>
char cc[][500]=//打表，存的是前n个素数的乘积，节约时间 
{
        "2",
        "6",
        "30",
        "210",
        "2310",
        "30030",
        "510510",
        "9699690",
        "223092870",
        "6469693230",
        "200560490130",
        "7420738134810",
        "304250263527210",
        "13082761331670030",
        "614889782588491410",
        "32589158477190044730",
        "1922760350154212639070", 
        "117288381359406970983270",
        "7858321551080267055879090",
        "557940830126698960967415390",
        "40729680599249024150621323470",
        "3217644767340672907899084554130",
        "267064515689275851355624017992790",
        "23768741896345550770650537601358310",
        "2305567963945518424753102147331756070",
        "232862364358497360900063316880507363070",
        "23984823528925228172706521638692258396210",
        "2566376117594999414479597815340071648394470",
        "279734996817854936178276161872067809674997230",
        "31610054640417607788145206291543662493274686990",
        "4014476939333036189094441199026045136645885247730",
        "525896479052627740771371797072411912900610967452630",
        "72047817630210000485677936198920432067383702541010310",
        "10014646650599190067509233131649940057366334653200433090",
        "1492182350939279320058875736615841068547583863326864530410",
        "225319534991831177328890236228992001350685163362356544091910",
        "35375166993717494840635767087951744212057570647889977422429870",
        "5766152219975951659023630035336134306565384015606066319856068810",
        "962947420735983927056946215901134429196419130606213075415963491270",
        "166589903787325219380851695350896256250980509594874862046961683989710",
        "29819592777931214269172453467810429868925511217482600306406141434158090",
        "5397346292805549782720214077673687806275517530364350655459511599582614290", 
        "1030893141925860008499560888835674370998623848299590975192766715520279329390",
        "198962376391690981640415251545285153602734402721821058212203976095413910572270",
        "39195588149163123383161804554421175259738677336198748467804183290796540382737190",
        "7799922041683461553249199106329813876687996789903550945093032474868511536164700810",
        "1645783550795210387735581011435590727981167322669649249414629852197255934130751870910",
        "367009731827331916465034565550136732339800312955331782619462457039988073311157667212930",
        "83311209124804345037562846379881038241134671040860314654617977748077292641632790457335110",
        "19078266889580195013601891820992757757219839668357012055907516904309700014933909014729740190",
        "4445236185272185438169240794291312557432222642727183809026451438704160103479600800432029464270",
        "1062411448280052319722448549835623701226301211611796930357321893850294264731624591303255041960530",
        "256041159035492609053110100510385311995538591998443060216114576417920917800321526504084465112487730",    
        "64266330917908644872330635228106713310880186591609208114244758680898150367880703152525200743234420230"
};
char str[110];
int main()
{
    int T;
    int i;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%s",&str);
        int x=strlen(str);
        for(i=0;i<60;i++)
        {
            int y=strlen(cc[i]);
            if(x<y) break;
            if(x>y)continue;
            if(strcmp(str,cc[i])<0) break;
        }    
        printf("%s\n",cc[i-1]);
    }    
    return 0;
}