如果给经典物理加台时间机器

这个问题当然不是新问题，上个世纪中后叶就已经有物理学家搞过这个问题了。这个在索恩^[1]的《黑洞与时间弯曲》里就已经有过介绍，索恩自己对这方面的问题也是很有研究的，特别是和霍金一起搞了有时间穿越功能的虫洞在遭遇电磁场时会发生什么灾难的问题。

这里是在想重头计算一下，因为没自己动手过，总是感觉不酸爽——来，给爷捏个肩～～

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我们不考虑太复杂的问题，就考虑下面这个问题：

一个自己和自己碰撞的问题

　　这个问题是这样的：
　　一个点粒子从(0, 0)的位置发出，速度矢量为V1。接着在(x, y)的位置和自己发生了碰撞（自己？对，自己）。然后，碰撞发生后，这枚粒子飞向了(p, q)位置的一个虫洞，这个虫洞可以将粒子传递到(m, n)的位置，且保持进入时的速度矢量不变。且，(p, q)的虫洞不单可以在空间将粒子传递到(m, n)，甚至还可以在时间上传递，所以实际上是从(p, q, t)时空点传递到(m, n, t - Δt)这个时空点。从这个时空点出来的粒子，继续飞，飞到(x, y)的位置，又和过去的自己发生了碰撞，接着它就被撞飞，飞到了(a, b)这个位置。
　　上诉所有碰撞都是完全弹性碰撞。
　　现在， 求发生碰撞的位置(x, y)，以及最终飞到的位置(a, b)（只要一个方向即可）。
　　在这个问题的基础上，我们还可以进一步问一个更有趣的问题： 如果不仅仅发生一次碰撞，会怎么样？

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我们先将这个问题用数学的形式描述一遍（只考虑二维空间）：

位移矢量

速度矢量

　　从而已经有下列方程：

运动的方程组

完全弹性碰撞的能量守恒与动量守恒

　　在我们现在的问题中，由于V2和V3相等，所以能量动量守恒实际上给出了V1必须等于V4，这点对于整个问题来说其实帮助不大。
　　在剩下的六个方程（3组矢量方程，在2维中就是总共六个方程），位置的变量为：u_x、u_y、t1、t2、x、y，总共六个，从而是可以存在唯一解的：

解

　　我们发现，这个问题虽然看上去复杂，但解起来倒是一点都不困难。
　　而且，最关键的是，我们发现第一次被未来的自己撞飞后的粒子的速度，完全仅由虫洞的性质决定，而和粒子自身的初始状态一点关系没有。更有趣的是，由于能量动量守恒，对于点粒子来说，这个虫洞是否存在，以及他在整个过程中其实已经被偷梁换柱，这些都不重要，因为对最终结果来说没有丝毫影响——虫洞以及自己经过虫洞和过去与未来的自己发生碰撞这是完全可以被忽略。

只有一次自相互作用的情况看来非常Trival，和没有自相互作用的情况基本相同，就是多了一点“幽灵纠缠”，似乎没什么花头。
　　那么，我们来看，如果存在两次自相互作用会如何。

这里有一个关于点粒子完全弹性碰撞的小坑。
学过中学物理的人肯定还记得当年中学物理老师有要求大家推导过一维完全弹性碰撞的推导的习题。在那里，完全弹性碰撞是有位移解的：

初速度为v1与v2的两个物体完全弹性碰撞后的速度u1和u2

但如此美好的性质在大于一维的情况下是不存在的，因为能量动量守恒给出D+1个方程，而碰撞后的位置量有2D个，所以当D>1的时候，光有这些方程是不足够得到位移末态的。
这个问题在非点粒子的情况，比如两个小球碰撞的请求，却是可解的，因为非点粒子就可以谈论接触面，于是理想情况下垂直接触面的方向上发生完全弹性碰撞，平行接触面的D-1个方向上自由运动，于是就回到了一维完全弹性碰撞问题了。
在这篇文章前面计算的问题中，我们忽略点粒子带来的这个小坑，认为其实是“半径非常小到足够忽略的小球的弹性碰撞”，并认为最后的解总能满足要求的。
有兴趣的可以做一下小球的虫洞穿越一次碰撞问题，结果差不多。

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两次碰撞的情况比较复杂。
　　我们先来看一下两次碰撞的轨迹图：

两次碰撞轨迹

　　其中，PB很明显是初始粒子的轨迹，DQ是末态粒子的轨迹，AB和AD是第一与第二次穿越粒子的轨迹，但暂时还不能区分谁是谁，BC和DC则可能是穿越粒子再次也可能是初态粒子第一次穿越，BD则可能是初态粒子也可能是某次穿越粒子。
　　但，无论如何，我们可以通过冲动的设定知道，AB肯定并行于DC，BC平行于AD，于是ABCD构成一个平行四边形。
　　任何形式的平行四边形都是满足条件的，只要A和C分别固定的在虫洞的过去端和未来端即可。而，PB是初始条件，不会改变。因此平行四边形的B点必然是在一条确定的直线上的（从P点出发，沿着初始速度方向）。B点确定了，D点也就确定了。
　　于是，整个系统的唯一变量就只是从P运动到B的时间t，从而也就是B的位置。
　　在B和D点上存在碰撞过程的能量动量守恒，形成约束。简单分析可知，DQ必然也是平行于PB的——而且，如果在B点能量动量守恒条件满足，那么在D点也必然满足。
　　于是，问题的答案其实就是，是否存在恰当的时间t，使得B点位置决定的平行四边形在B点上满足能量动量守恒，且沿着AB和BC走所用的时间为Δt。如果有解，那就存在两次碰撞——至于说到底是谁和谁碰撞，这个倒是不怎么重要。。。
　　于是，问题就化简为如下方程：

四个方程四个未知数，可解

　　这里，我们假定了粒子的质量，而且认为不同线上的粒子质量不同——为什么这么做？后面我们会发现有趣的地方的～
　　现在来看一下这个方程的部分解：

部分解

　　之所以说部分解，因为还没有带入能量守恒这个约束条件。
　　但，我们已经看到，这里我们预设了一些质量项，也就是说，如果我们允许出现一些“别样”的粒子的话，这个能量守恒条件是总能实现的，而这样的情况，在整体运动轨迹不变的情况下，体现为一些“鬼魅”一般的运动的，如下图：

有鬼的运动

　　在这张轨迹图中，红色表示原始的粒子，它只进行了一次穿越，而绿色则表示“鬼”粒子，它和原始粒子相撞两次，两次改变粒子运动轨迹，但最终要的是，这个“鬼”粒子是无始无终的！
　　鬼粒子从A这个出口出现，跑到B点和粒子相撞，被撞飞到D点，和穿越而来的粒子再次相撞，并来到入口C，结果这个通过C-A冲动回到过去的鬼粒子居然恰好就是早先从A出来的那个鬼粒子！
　　鬼粒子和现实粒子相撞还有另一种形式：

另一种鬼

　　这里，粒子从P跑到B，与从A出来的鬼相撞，改变方向来到D，有和这个鬼撞了一次，最后飞向Q。而对鬼粒子来说，从A出来的鬼粒飞到B，相撞，飞到C，接着从A出来，但此时从A出来的鬼并不是一开始从A出现的鬼（同一个粒子，但不同时刻），这次从A出来的鬼飞向D，又相撞，飞到C，并从A出来——而这次出来的时刻才是鬼第一次出现的时刻。
　　也就是说，鬼的轨迹是这样的：A(1)->B->C->A(2)->D->C->A(1)。
　　事实上，也可以这么非：A(1)->D->C->A(2)->B->A(1)。
　　当然了，当只有一个粒子而没有鬼的时候，也存在解，只不过此时的解具有比较强的限制约束，只允许一种情况的发生，而粒子所走的路径则为：PBCADCABDQ，或者PBDCABCDQ。
　　从最终实验结果的角度来说，上述两条路径其实都可以看作是有鬼的情况，只不过现在鬼的质量和被试粒子相同罢了。
　　事实上，一次自相互作用的情况也可以看作存在鬼粒子的，只不过这样的话，鬼粒子和粒子之间不存在任何相互作用，两者交叉而过，相安无事。

下面来具体分析一下两次碰撞过程的一些特性。
　　由于，A和C并不是完全等价的，必须是A出粒子，C进粒子，所以这就对矢量的方向性有了严格的限制——比如说，BD就必须是B指向D，否则B处就是三根入线一根出线，这个过程怎么都不可能配平（也就是能量动量不可能守恒）。
　　这也就要求，前面给的解中的s、u、w必须大于零，这就要求：

要求

　　其中第二条很有意思，就是要求入射粒子必须足够靠近C-A虫洞在过去端的出口。在考虑到碰撞对于粒子运动的作用是让粒子保持运动方向不变地移动到相对C-A虫洞两个出口的中点的对称点上，所以实际上就是说，这样的虫洞会对靠近过去端出口的粒子造成一种向未来端推的推力。产生的效果就是把粒子“输运”到和中点对称的另一端去。
　　这样的虫洞除了会对粒子的位置发生影响外，还会对粒子到达目的地的时间发生影响。以之前给出的入射粒子会发生一次穿越的情况来说，中间从B走到D的粒子是鬼粒子，而鬼粒子的动量虽然被确定，但速度并没有，解中的s是含有鬼粒子质量m_D的，因此原则上说，通过调节这个鬼粒子的质量，粒子从D离开的时间可以在一个范围内发生变化，从而发生改变。

我们甚至可以从上述结论来推测高次碰撞的情况——所有奇数次的，都可以看作出现了一个独立鬼粒子，从A到C不断循环往复（就是从C回到A后发现恰好就是鬼粒子出生的时刻，从而未来的自己就是现在的自己，周而复始）。
　　而偶数次和奇数次中除了那个独来独往的鬼之外的部分，则可能形成各种平行四边形，不断叠加，从而我们可以发现粒子的轨迹是在最大的四边形的左上角开始走一条始终朝着右下（但不唯一）的折线，最终通过AC之间的中点，在对称着走一条折线，接着射出。
　　是否可能出现不是平行四边形的更加复杂的轨迹呢？比如下面这个：

更加复杂的碰撞轨迹，当然，基本不可能是真实解

　　由于能量动能量守恒，所以我们发现中间的多边形不能存在除了与射入、射出轨迹相连的点以及CA两点之外的突点，从而就只能是平行四边形了。
　　如果入射的不单单是一个粒子，而是两个粒子，那么就不只是平行四边形的叠加，还会有对边平行的平行六边形的叠加，这连个入射粒子之间还会有相互作用——彼此的直接碰撞，或者彼此通过鬼粒子碰撞。

到这里，基本上对于这一类系统中的完全弹性碰撞问题就基本都清楚了。

当然，问题本身还可以继续拓展，比如作为出口的C如果和A不是“平行”的，比如所有进入A的粒子在从C出来的时候并不保持原方向，而是有一个偏向，那么事情就又好玩了，我们会发现此时C-A虫洞的作用不单单是提供了一个位置上的偏移，还提供了一个转折。
　　还可以追问，如果这样的虫洞不止一组，而是有两组甚至多组，会怎么样？
　　这些问题这次就不分析了。

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下面来扯一些更加有趣也更加扯淡的东西。

从上面的分析与计算，我们发现了一个有趣的现象，那就是原本一个初始条件只有一个必然结果的经典力学，现在有了完全不同的面貌——我们完全不知道最后的结果会是什么了。

而且，更有趣的是，这样的相互作用很容易让人想到量子场论中的Φ4理论。
　　Φ4理论中如果只考虑一个粒子，那么我们会发现这个粒子在最低阶近似（树图）下和经典物理是相同的，但一旦引入圈图，问题就变得不一样了。

单粒子Φ场的树图

　　单粒子Φ场的一阶展开是一次真空涨落与该粒子的耦合：

单圈图

　　二阶圈图则可以很负责，除了两个单圈叠加（从而有两个圈与粒子世界线相切），还有这种形式：

两次相互作用的一种圈图

和这种形式：

圈圈叠圈圈……

　　不知道你有没有发现，这样的图和前面话说的轨迹图是很像的呀，只要将A和C看作是同一个点（比如一个圆筒剖开，剖线正好经过A/C点，于是在上面将它视为A，下面将它视为C，但其实是同一个点），那两边就是完全相同的了！
　　而在直线从圆中穿过的图，如果我们将上半部分圆弧的中点视为AC虫洞，那么真空涨落粒子可以通过AC虫洞，也可以不通过，这两个情况就对应了前面分析中的入射粒子不穿越虫洞和穿越虫洞一次这两个情况。
　　那么，下面的圆圈叠圆圈又表示什么呢？
　　这个其实是计算中一直没考虑的情况：一个鬼粒子冲出来和入射粒子发生一次碰撞，同时另一个鬼粒子也出现，并和第一个鬼粒子发生了直线上的完全弹性碰撞。这并不会改变任何结果，事实上都可以认为这两个粒子以及入射粒子三者一点碰撞都没发生过。
　　大概，轨迹图和场论中的费曼图之间的区别就仅仅是每张图的对称因子了吧。
　　前面是从图的角度来数的，从更加物理的角度来说，两者当然也有不同，比如在计算上，圈图很容易导致发散，在有虫洞的经典物理中则没有发散，欧耶。另一方面，经典情况下鬼粒子的质量虽然是任意的，但所有粒子都必须满足在壳条件，但这在量子下却不需要——所以才会发散。而相同点是，费曼图在交点上也必须满足能量动量守恒。而在线的意义上，轨迹图和费曼图中的线都表示传播子，只不过轨迹图的传播子还是经典的传播子，场论中的线的传播子已经是场的自由解，从而不再是经典路径所代表的传播子了。

因此，大概要在这种情况下推出不确定关系是不大可能的了——虽然现在我们已经看到粒子的位置并不是那么“确定”了。

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总结一下吧。

给经典物理的一个经典问题——自由粒子运动——加上一个类时虫洞后，我们发现经典物理的机械决定观已经发生了很不一样的改变了。
　　我们现在几乎不能确定粒子到底会沿着什么样的轨迹运动，因为上述所有解都是同样合理地可以实际存在的轨迹。
　　我们或许可以争辩那些由于虫洞的出现而发生的碰撞并不具有良好的鲁棒性——从而轻微的扰动就能导致碰撞的不会发生。但无论如何，现在经典物理已经变得模糊不清了。
　　我们并不清楚在这种情况下经典物理到底是否会成为所有可能路径的求和，从而需要使用路径积分——倘若真的如此的话，那具有虫洞的经典物理和量子场论之间的区别，大概就是这里被积分的泛函必须满足在壳条件了吧。。。
　　而如果这里不需要对所有可能的请款做求和的话，那我们就面临另一个有趣的问题——我们怎么知道到底发生的是哪一种情况？
　　或许，此时就只能认为，由于鲁棒性要求，所欲那些具有碰撞的解都不会发生了吧。

另，难道没人觉得这很像海因莱因的那篇经典的科幻小说，《All are you zombie》，么？它的电影版就是今年年初澳大利亚的电影《前目的地Predestination》。

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1. 如果你还不知道这位的话，那你一定知道《星际穿越》了。这部片子里那个牛逼的黑洞就是在索恩老师的直到下算出来的。 ↩