0122数学-偏微分-偏导数-多变量微分

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多元函数Multivariate Functions

这样的只有一个x变量的函数称作一元函数，如果有两个变量，比如这种就是两元函数，两元三元四元...都是多元函数。

这两个图中，函数结果和都放在了竖轴上。一元函数就是结果只随着x的变化而变化，所有结果形成一条曲线；二元函数就是结果随着x、y两个变量的变化而变化，所有结果形成一个曲面。

我们只能理解x、y、构成的二元变量三维空间，而三元变量和结果将形成四维空间，我们就无法想象和绘制了，但在数学的角度上，那样的多元变量空间一定是可以存在的。

多元微积分Multivariable Calculus

下面这个图是我们反复使用来说明一元函数的导数概念的，即的示意。

对于这样的二元函数，导数怎么求？切线怎么求？斜率怎么求？

类似这样的研究多个变量对结果产生影响变化速率的就是多元微积分要处理的问题。

偏导数Partial Derivative

因为曲面上的一个点的切线有无数条(实际上应该叫“切面”才合适),所以我们只能分别求每个变量对结果造成的影响。比如说，我们只考虑x，看它对结果变化速率产生怎样的影响，这时候，y就可以当做常数来考虑。

比如对于，依照前面介绍过的公式的导数函数是，单独常数项可以忽略，就得到：

这样的式子就被称作此x的偏导方程，即把y视为常数的导数方程。
同样y的偏导方程是：

偏导数可以理解为多元变量函数中把一个变量之外的其他变量都视为常数，进而求得的这个变量的导数，偏导数符号读作partial[ˈpɑːrʃ(ə)l]或者直接读偏。
粗糙的理解偏导数就是，按住其他变量不动，只研究一个变量的导数。

放在三维空间来说，对于就是先求出曲面上某点在x轴方向上的斜率，再求出y轴方向上的斜率。

如上图所示，对于透明曲面上的点A(x=15,y=15位置)，我们可以分别求出x方向和y方向上两条蓝色的曲线在A点的切线（没有画出），进而得到两个斜率（图中绿色断线示意），这两个斜率其实就是此点的偏导数。

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