连续时间傅里叶变换

1. 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换

为了对傅里叶变换的实质进行更深入的了解，我们先从一个连续时间周期方波的傅里叶级数表示着手。即，在一个周期内

以周期 周期重复，如下图所示。

该方波信号的傅里叶级数系数 是

式中 。

理解（1） 式的另一种方式是把它当作一个包络函数的样本，即

这就是，若将 看作一个连续变量，则函数 就代表 的包络，这些系数就是在此包络上等间隔取得的样本。而且，若 固定，则 的包络就与 无关，如下图所示。

从该图可以看出，随着 增加，该包络就被以愈来愈密集的间隔采样。随着 变得任意大，原来的周期方波就趋近于一个矩形脉冲（也就是说，在时域保留下的是一个非周期信号，它对应于原方波的一个周期）。

与此同时，傅里叶级数（乘以 后）作为包络上的样本也变得愈来愈密集，这从某种意义上来说，随着 ，傅里叶级数就趋近于这个包络函数。

这个例子说明了对非周期信号建立傅里叶表示的基本思想，可以把非周期信号当作一个周期任意大的极限来看待。

现在我们来考虑一个信号 ，它具有有限持续期 ，从这个周期信号出发，可以构成一个周期信号 ，使 就是 的一个周期。当把 选的比较大时， 就在一个更长的时段上与 相一致，并且随着 ，对任意有限时间值 而言， 就等于 。

在这种情况下，我们考虑将 表示成傅里叶级数，将积分区间选为 。

式中 ，由于在 内，，而在其余地方，，所以（4）式可以重新写为

因此，定义 的包络 为

这时候，系数 可以写为

将（3） 和 （7）结合在一起， 就可以用表示为

随着 ， 趋近于 ，式（8）的极限就变成 的表达式。再者，当 时，有 ，式（8）的右边就过渡为一个积分。

右边的每一项都可以看作是高度为 宽度为 的矩形的面积。式（8）和式（6）就分别变成

（9）式和 （10）式被称为傅里叶变换对。函数 称为 的傅里叶变换或傅里叶积分，也通常被称为频谱，而 （9）式称为傅里叶反变换式。

• 例 1

  
  
  

• 例 2

  
  
  
  
  
  

sinc 函数通常所用的形式为

2. 周期信号的傅里叶变换

考虑一个信号 ，其傅里叶变换 是一个面积为 ，出现在 处的单独的一个冲激，即

为了求出与 对应的 ，可以应用式（9）的反变换公式得到

将上面的结果再加以推广，如果 是在频率上等间隔的一组冲激函数的线性组合，即

那么利用式（9），可得

可以看出，式（15）就是一个周期信号所给出的傅里叶级数表示。因此，一个傅里叶级数系数为 的周期信号的傅里叶变换，可以看成是出现在成谐波关系的频率上的一串冲激函数，发生于第 次谐波频率 上的冲激函数的面积是第 个傅里叶级数系数 的 倍。

3. 连续时间傅里叶变换性质

为了方便，我们将 和 这一对傅里叶变换用下列符号表示

3.1. 线性

若

和

则

3.2. 时移性质

若

则

这个性质说明：信号在时间上移位，并不改变它的傅里叶变换的模。

3.3. 共轭及共轭对称性

若

则

共轭性质就能证明，若 为实函数，那么 就具有共轭对称性，即

这就是说，傅里叶变换的实部是频率的偶函数，而虚部则是频率的奇函数。

3.4. 微分和积分

3.5. 时间与频率的尺度变换

若

若令 ，则有

3.6. 对偶性

3.7. 帕斯瓦尔定理

若

则

3.8. 卷积性质

两个信号在时域内的卷积就等于它们傅里叶变换的乘积。

3.9. 相乘性质

两个信号在时域内的相乘就对应于频域内的卷积。

4. 傅里叶变换性质和基本傅里叶变化列表

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