本文继续 文章“2019-09-24 有理数的连分数表示与欧几里德算法的关联”，并继承其中结论
，下文中将把上文称之为 “引文”
首先，说明一点，有理数的连分数表示法显然不唯一，
举例来说
4=2+2/
1
4=3+1/
1
但是，如果限定条件，连分数中每个连分式中的2个数，右边数的值必须在区间 [0,1)之间，且分子为1
则这样的话连分数表示是唯一的，对于这样的连分数我们称之为标准连分数
下文只考虑正数的情形：
首先，对有理数数 r[0]/r[1] 来证明，利用 引文 至此，得到： 与此同时，立刻得到： 下面证明，每个无理数，必然可以对应唯一 一个标准无限连分数 从 每次选择的t都是根据标准连分数的要求 而唯一确定的，得到结论： 如果无理数可以表示为无限标准连分数，则其表法唯一，并且由上面的推理可以递推的给出其表法； 给出无限连分数收敛的定义如下： 因此，我们要证明如下命题： 证明： 首先，设T[n]=[t[0],t[1],t[2],...t[n]], T[0] = t[0] < t[0] + a[1] = a, 另外，根据 T[2 * (i+1)+1] = 1/ 综上，我们对 j = 2 * i+1 也证明了命题 1， 下面我们证明序列 T[2 * i] 收敛到 a, 以及序列T[2 * i+1]也收敛到 a 引理： 如果k为奇数 则令 n=(k+1)/2, 则 2 * n=k+1为偶数， 如果 k为偶数，则令 n=k/2 ,此时 T[2 n]=c ,利用T[2 i]性质，显然有 T[2* (n+1)]>c. 当c[0],c[1],...c[k] 中存在 c[j]使得 c[j]!=t[j]，且j是第一个满足该条件的项时， 2.当j为奇数时，不妨令 n=(j+1)/2,则 j=2 * n-1此时又分两种情形 综上所述，无论如何 ，我们可以找到n使得T[2 * n]>c>b，也就是任意b 通过类似的方法可以证明 T[2 * i+1] 也收敛到 a,证明略，读者可仿照上文方法自行证明 至此，我们得到序列T[2 * i]和T[2 * i+1]都收敛到a,综上T[n]收敛到a, Q.E.D. 至此，我们得到 最后，如果一个无限标准连分数收敛到某无理数a ,则该无理数的标准连分数表示与 下面我们来研究，无限标准连分数的收敛性问题，无限标准连分数是否一定收敛？ r[0,1] = t[0] * r[1,1] +1 r[0,2] = t[0] * r[1,2]+ r[2,2] r[0,3] = t[0] * r[1,3] +r[2,3] ... r[0,i-1] = t[0] * r[1,i-1] +r[2,i-1] r[0,i] = t[0] * r[1,i] + r[2,i] ... 根据上面等式，结合引文中的结论有: 则可以得到 T[2 * i] 根据微积分基本原理，单调有界实序列必然收敛（该基本原理将在之后的文章中证明） 但是|T[i]-T[i-1]|=1/(r[1,i] * r[1,i-1]), 我们只需，证明1/(r[1,i] * r[1,i-1])随着i增大可以无限小，就可以否定上述关系，也就证明了T[n]收敛； 根据方程组: r[0,i] = t[0] * r[1,i] + r[2,i] 有r[i-1,i]=t[i-1] *t [i]+1>t[i-1]=r[i-1,i-1] 综合上述所有，得到 以上定理可以简单的概括为： 下面补证引理 则a=a[0]+a[1]+a[2]+... 且b=b[0]+b[1]+b[2]+... 设c=a[0]+a[1]+...+a[n-1]+b[n]+1/10^(n+1) ,则有 b 下一篇文章，将研究 不同类型的 无理数 所对应的无限标准连分数的特性
中的结论，有
对于连分数[t[0],t[1],...],有
r[0]=t[0] * r[1]+r[2] =>
r[0]/r[1]=t[0]+r[2]/r[1] ,限定 0<=r[2]/r[1]<1的话 ，有0<=r[2]
如果r[2]=0连分数就结束了，否则
r[1]=t[1] * r[2]+r[3] => 0<=r[3]
有理数的标准连分数表达必然是有限连分数且有理数的标准连分数表达唯一
与此同时，有限标准连分数显然是有理数
综上，得到：
定理：每个有理数唯一等于一个标准有限连分数，且每个标准有限连分数唯一等于一个有理数；
无限标准连分数对应的数字一定不是有理数；（否则的话，假设对应一个有理数，根据有理数的标准表法唯一的特性，必将在有限步终止）
证明：
给定无理数a,因为无理数是实数，则存在唯一整数 t[0]使得 t[0]
1/(a-t[0])
且 0
a= t[0]+1/
t[1]+r ,对r重复找到唯一 整数 t[2]>=1使得 t[2] * r<1< t[2]+1 ,一直重复该过程，则得到无限序列
a = t[0]+1/
t[1]+1/
t[2]+1/
t[3]+...
下面唯一剩下的就是证明，这个无限连分数 收敛于 原无理数
无限连分数[t[0],t[1],t[2],....]收敛当且仅当无穷数列:
[t[0]], [t[0],t[1]], [t[0],t[1],t[2]], ....收敛
可见无穷连分数收敛，我们可以取其有限项无限逼近某个数字。
给定无理数a
并且，根据a,定义
t[0]为整数 ，且 满足 a=t[0]+a[1] ,0
t[2]为整数 ，且满足 1/a[2]=t[2]+a[3] ,0
...
则无穷有限标准连分数序列 :[t[0]], [t[0],t[1]], [t[0],t[1],t[2]],.... 收敛到 a
先证明 命题1：
当n为偶数时，T[n]
并且n为偶数时T[n]随着t[n]增大而增大，n为奇数时，T[n]随着t[n]增大而减小
T[1] = t[0] + 1/t[1] > t[0] + 1/(t[1] + a[2]) = a
T[2] = t[0] + 1/(t[1]+1/t[2] )
并且 T[2]>T[0], T[3]
减小；
可见命题1 对 j=0,1 成立 ,下面不妨假设命题1 对 j<=i成立，下面证明对j=i+1也成立
T[2 * (i+1)]=1/
t[0]+1/
t[1]+1/
... /
t[2 * i]+1/
t[2 * i+1]+1/
t[2 * i+2]
显然t[2 * i]+1/(t[2 * i+1]+1/t[2 * i+2])>t[2 * i], 而根据命题1性质，有T[2 * i]随着t[2* i]增大而增大；
则T[2 * (i+1)]>T[2 * i]
同样利用命题1性质，T[2 * (i+1)] 随着 t[2 * i+2]增大而增大
a=t[0]+1/
t[1]+1/
.../
t[2 * i]+1/
t[2 * i+1]+1/
t[2 * i+2]+a[2 * i+3]
且 0
t[0]+1/
t[1]+1/
... /
t[2 * i+1]+1/
t[2 * i+2] +1/
t[2 * i+3]
利用命题1 ,T[2 * i+1]随着t[2 * i+1]增大而减小
T[2 * i+3]
a = 1/
t[0]+1/
t[1]+1/
... /
t[2 * i+1]+1/
t[2 * i+2] +1/
t[2 * i+3] +a[2 * i+4]
结合T[2 * i+1]随着t[2 * i+1]增大而减小,有 T[2 * i+3] > a
据此，得到以下结论:
T[2 * i]
首先证明T[2 * i]收敛到 a, 要证明这一点，只需证明，任意实数 b
任意给实数b
不妨设c的标准连分数展开如下：
c=
c[0]+1/
c[1]+1/
...
c[k-1]+1/
c[k]
试图找到 c[0],c[1],...c[k]中第一个满足 c[i] != t[i]的项 c[i]，分两种情况，第一种，该项不存在
则有t[0]=c[0],t[1]=c[1],...t[k]=c[k]
此时，将T[2 * n]展开为：
T[2 * n]= 1/
t[0]+1/
t[1]+1/
...
t[2 * n-1 ]+1/
t[2 * n]
利用T[2 * i+1]的性质，显然T[2* n-1]
这样找到了 n+1 使得 T[2*(n+1)]>c ；
将c展开为:
c=
c[0]+1/
c[1]+1/
.../
c[j]+r (0<=r<1)
T[2 * n]展开为:
T[2 * n] =
t[0]+1/
t[1]+1/
.../
t[2 * n-1]+1/
t[2 * n]
分2种情形讨论：
1,当 j为偶数时,不妨设 n=j/2 ,此时又分2种情形，
1-1 c[j]>t[j]=t[2 * n] ,但这是不可能的，因为
a =
t[0] + 1/
t[1]+1/
.../
t[2 * n-1]+1/
t[2 * n] + a[2 * n+1]
如果c[j]>t[j]则c[2 * n]>t[2 * n],因为c[2 * n]和t[2 * n]都是整数，
且0
再结合T[2 * i]的性质，c>=[c[0],c[1],...c[2 * n]]>a ，与假设 c 1-2 c[j]
找到了n使得T[2 * n]>c
1-1 c[j]>t[j] , 则c[2 * n-1]+r> t[2 * n -1]+1/(t[2 * n] ) (因为此时 n>=1 所以 1/t[2 * n] <=1)
根据 T[2 * i+1]的性质 ，c
这样，我们就证明了序列 T[2 * i] 收敛到 a;
定理：
任意无理数可以表示为无限标准连分数，且表法唯一，并且该表法对应的无限标准连分数收敛到该无理数；
该连分数完全相同；
给定一标准无限连分数 [t[0],t[1],t[2],....]并假定其收敛到无理数a
同时设a的标准连分数展开为
a=
a[0]+1/
a[1]+1/
a[2]+1/
...
a[j]+r (0
给定任意连分数[t[0],t[1],t[2],....] 研究序列[t[0]] ,[t[0],t[1]],[t[0],t[1],t[2]],...的收敛性
,设T[i]=[t[0],t[1],...,t[i]]
我们将T[0] ,T[1],T[2],... 按照欧几里德算法的形式依次展开如下：
r[0,0] = t[0]
r[1,1] = t[1]
r[1,2] = t[1] * r[2,2] +1
r[2,2] = t[2]
r[1,3] = t[1] * r[2,3] +r[3,3]
r[2,3] = t[2] * r[3,3] +1
r[3,3] = t[3]
r[1,i-1] = t[1] * r[2,i-1] + r[3,i-1]
r[2,i-1] = t[2] * r[3,i-1] + r[4,i-1]
...
r[i-2,i-1]= t[i-2] * r[i-1,i-1]+1
r[i-1,i-1] = t[i-1]
r[1,i] = t[1] * r[2,i] +r[3,i]
r[2,i] = t[2] * r[3,i] +r[4,i]
...
r[i-1,i]= t[i-1] * r[i,i]+1
r[i,i] = t[i]
T[i]=r[0,i]/r[1,i] 以及
r[0,i]r[1,i-1]-r[1,i]r[0,i-1]= (+-1)
=>r[0,i]/r[1,i]-r[0,i-1]/r[1,i-1]= (+-1)/(r[1,i] * r[1,i-1])
也就是
T[i]-T[i-1]=(+-1)/(r[1,i] * r[1,i-1])
与此同时，根据上面的命题 1， 得知T[2 * i]单调增，T[2 * i+1]单调减，以及
T[2 * i]
T[2 * i]>=T[2 * j+1] => T[2 * i+1]>T[2 * j+1] => i
所以，T[2 *i ]和T[2 * i+1]都必然收敛，不妨设 前者收敛到实数a,后者收敛到实数b ，则a<=b
如果要整个序列T[n]不收敛 ，则 必须要 a
r[0,i-1] = t[0] * r[1,i-1] +r[2,i-1]
r[1,i-1] = t[1] * r[2,i-1] + r[3,i-1]
r[2,i-1] = t[2] * r[3,i-1] + r[4,i-1]
...
r[i-2,i-1]= t[i-2] * r[i-1,i-1]+1
r[i-1,i-1] = t[i-1]
r[i,i-1] =1 (不妨设r[i ,i-1]=1)
r[1,i] = t[1] * r[2,i] +r[3,i]
r[2,i] = t[2] * r[3,i] +r[4,i]
...
r[i-1,i]= t[i-1] * r[i,i]+1
r[i,i] = t[i]
以及标准表法的性质 t[i]>=1(i>0) ,
r[i-2,i]=t[i-2] * r[i-1,i]+r[i,i] > t[i-2] * r[i-1,i-1]+r[i,i-1]=r[i-2,i-1]
一般来说
由r[k,i]>r[k,i-1]
r[k-1,i]>r[k-1,i-1]
可以推出
r[k-2,i]=t[k-2] * r[k-1,i]+ r[k,i]>t[k-2] * r[k-1,i-1]+r[k,i-1] =r[k-2,i-1]
最终，得到
r[1,i]>r[1,i-1] ，也就是r[1,i]随着i单调递增，
所以1/(r[1,i] * r[1,i-1]) 随着i增大减小，并且因为r是整数
该值显然可以比任意正数小，也就是可以找到i使得 1/(r[1,i] * r[1,i-1])
定理：
每个有理数的标准连分数展开必然有限且唯一，反之任意一个标注有限连分数也必然等于一个有理数；每个无理数都存在唯一无限标准连分数展开，且该连分数收敛到该无理数自身；反之任意给定一个标准无限连分数，其必然收敛到某无理数a，并且该a的标准连分数展开 就是该标准无限连分数。
标准连分数与实数一一对应，其中有限的部分和有理数一一对应，无限的部分和无理数一一对应
任意给定实数b和实数a,使得b
考虑有理数序列 : a[0]=f(a),a[1]=f(10 * (a-a[0]))/10, a[2]= f(100 * (a-a[0]-a[1]))/100,...
一般的 a[i]=f(10^i * (a-a[0]-a[1]-...-a[i-1]))/10^i
以及有理数序列 :b[i]=f(10^i * (b-b[0]-b[1]-...-b[i-1])/10^i
（实际就是把实数表示为无限小数形式，数列每一项，也就是每一位的小数
例如3.1415926535... = 3+0.1+0.04+0.001+0.0005+...）
并且因为 b