第四次作业-推论统计

习题1：投掷N枚硬币，正面出现57次，尝试通过计算回答，假设N=100枚要舍弃还是要接受？

答：假设N=100，正面出现的枚数近似于平均值为50，S.D为5的正态分布
因此，95%预测命中区间为

-1.96<= (x - 50)/5 <= 1.96

40.2<= x <= 59.8

得出结论：正面出现57次在假设范围内，所以N=100的假设可采用

习题2：随机抽样30个GRE成绩，平均分数为1082分，标准差为108分，决定下列参数的95%和99%置信区间

（1）总体均值
（2）总体标准差

解析

此处需要明确一个知识点，关于正态母群体中去样本均值的特质（源自《极简统计学》p130）

具体特质如下：

正态母群体的总体均值为μ，总体标准差为σ，从中观测的n个数据x的样本均值的分布也是正态分布。
其分布的平均值仍为μ，标准差为 σ/√n ，缩小为母群体的 √n 分之一。

从上面的性质可以得出以下结论：

对于均值为μ、标准差为σ的一个正态母群体数据的n个样本均值来说，95%置信区间为由以下不等式解出来的范围,a为样本均值

 -1.96 <= (a-μ)/(σ/√n)) <= +1.96

由以上解析过程可得出习题2的答案：

n=30，μ=1082，σ=108，带入公式可得如下不等式：

• 95%的置信区间 -1.96 <= (a-1082)/(108/√30)) <= 1.96

• 99%的置信区间 -2.58 <= (a-1082)/(108/√30)) <= 2.58

得出结论：

95%的置信区间 样本均值的范围为 1043.35 ~ 1120.65
99%的置信区间 样本均值的范围为 1031.13 ~ 1132.87

区间估计解惑

我们来看一个案例：进行投掷N枚硬币的实验，已知出现10枚正面的结果。思考投掷枚数N，是从几枚到几枚？

解析

关于总体参数N，将投掷N枚硬币出现正面枚数的数据作为母群体，为正态分布，其平均值为μ = N/2，S.D.为 σ = √n/2

此时根据 z = (10-μ)/σ计算得到z，如果使不等式 -1.96 <= z <= 1.96 成立则不舍弃（采用）N，不成立则舍弃N

硬币枚数N的区间估计

观察上图可以明白，N在12枚以下不等式不成立，或N在31枚以上不等式也不成立，所以这些N对母群体来说不妥当要舍弃。

因此，留下的N为“13<= N <= 30”，这叫做“N的95%置信区间”，是关于N的区间估计的结果。

置信区间的95%的含义

95%是这样的一个百分数，它不是对“作为真正的N一共有95%在区间13<= N <=30中”的估计，而是对“如果持续进行区间估计，可求得对应观测值的各种各样的区间，但在100次中有95次真正的N落在求出的区间内”的估计。

ps:

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