数论模版 - C++实现

数论

最大公约数(GCD)/最小公倍数(LCM)

/*非递归版本求最大公约数*/
int gcd(int a,int b)
{
    if(0==b)    return a;
    while(b>0)
    {
        int temp=a%b;
        a=b;
        b=temp;
    }
    return a;
    //while(b^=a^=b^=a%=b)
}
/*递归版本求最大公约数*/
int gcd(int a,int b)
{
    return b?gcd(b,a%b):a;
}
/*求最小公倍数*/
int lcm(int a,int b)
{
    return a*b/gcd(a,b);
}

素数判断及打表

/*判断n为素数返回1,合数返回0*/
int IsPrime(int n)
{
    if(n==2)    return 1;
    if(n%2==0||n<2) return 0;
    int l=sqrt(n+1);
    for(int i=3;i<=l;i+=2)
        if(n%i==0)  return 0;
    return 1;   
}

/*素数表打表 欧拉筛法*/
/*primes[]  [2,N] 之间的素数 primes[0]第0位素数2*/
/*isprime[] */
const int maxn=1000007;
int primes[maxn];
int isprime[maxn];

void euler_sieve()
{
    int tot=0;
    memset(isprime,1,sizeof(isprime));
    isprime[0]=isprime[1]=0;
    for(int i=2;i<=maxn;i++)
    {
        if(isprime[i]) primes[tot++]=i;
        for(int j=0;jmaxn) break;
            isprime[i*primes[j]]=0;
            if(i%primes[j]==0) break;
        }
    }
}

快速幂/乘取模

/*快速幂取模 (a^b)%p*/
int quickpow(int a,int b,int p)
{
    int ret=1;
    a%=p;
    while(b)
    {
        if(b&1) ret=(a*ret)%p;
        a=(a*a)%p;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
/*快速乘法取模 (a*b)%p*/
int quickmul(int a,int b,int p)
{
    int ans=0;
    while(b)
    {
        if(b&1) {b--;ans=(ans+a)%p;}
        b>>=1;
        a=(a+a)%p;
    }
    return ans;
}

拓展欧几里得

/*拓展欧几里德 ax+by=1*/
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ans;
}

求乘法逆元

/*求乘法逆元(数论倒数) ax=1(modb) -> ax-1=by -> ax+by=1*/ 
int modinverse(int a,int b)
{
    int x,y;
    int d=exgcd(a,b,x,y);
    return d==1?(x%b+b)%b:-1;
}

中国剩余定理(解一元线性同余方程组)

/*中国剩余定理(互质) 一元线性同余方程组 x=a(modm)*/
/*设ai,Mi为除该数外的摸数乘积,ti为Mi模mi数论倒数*/
/*ans(ai*ti*Mi)*/
/*a[],p[]模,n,长度*/
int crt(int a[],int p[],int n)
{
    int muls=1;
    int ret=0;
    for(int i=0;ia[0]?a[0]:-1;
    }
    int x,y,d;
    for(int i=1;i

求解方程ax=b(modn)

/*求解ax=b(modn), 解的个数为gcd(a,n)，返回x为vector<>*/
verctor lmodeq(int a,int b,int n)
{
    int x,y;
    int d=exgcd(a,n,x,y);
    vector ans;
    ans.clear();
    if(b%d==0)
    {
        x=(x%n+n)%n;
        x%=(n/d);
        ans.push_back(x*(b/d)%(n/d));
        for(int i=1;i

莫比乌斯函数求解

/*求莫比乌斯函数mu
 mu={
 1       ,u=1
 (-1)^k  ,能分解成k个不同的质因数因子
 0       ,u包含平方因子
 }
 */
int Mobius(int n)
{
    int cnt,k=0;
    for(int i=2;i*i<=n;i++)
    {
        if(n%i) continue;
        cnt=0;
        k++;
        while(n%i==0)
        {
            n/=i;
            cnt++;
        }
        if(cnt>=2)  return 0;
    }
    if(n)   k++;
    return k%2?-1:1;
}

组合数求解(逆元求组合数/Lucas定理)

/*求组合数:数较小mod较大时,使用逆元.数较大mod较小时使用lucas*/
/*逆元求组合数*/
int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int ans=exgcd(b,a%b,y,x);
    y-=a/b*x;
    return ans;
}

int fac(int n,int p)
{
    int sum=1;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        sum=(num*i)%p;
    }
    return sum;
}

int comb(int n,int m,int p)
{
    int a=fac(m)*fac(n-m)%p;
    int x,y;
    exgcd(a,p,x,y);
    return ((fac(n)*x)%p+p)%p;
}

/*Lucas定理求组合数*/
int Lucas(int n,int m,int p)
{
    if(m==0)    return 1;
    return comb(n%p,m%p,p)*Lucas(n/p,m/p,p)%p;
}

/*组合数打表 c(n,m)*/
int initcomb()
{
    for(int i=0;i