Sokhotski-Plemelj公式究竟是怎么来的

一

事情要从去年（或者是前年，我也记不清了）学《等离子体动理学》朗道阻尼那部分说起，王老师的课件中出现这么一个公式：
)
其中， 表示的主值，我当时就被震惊了，好好的有理数怎么怎么蹦出来一个虚数来表示它，更可怕的是虚数部分还是个狄拉克函数，这与我之前的认知是不相符的，感觉世界观被颠覆了，当时好想下课后就去买本《十万个为什么》查查有没有答案。记得当时好像问了句王老师为什么是那样，王老师大概是说：有这么个公式，你们自己去查下好了。虽然王老师说了有这么个公式，那基本上是正确的了，但心中还是有那么一点点疑惑，有那么一点点的不自在。

可能你以为我下课后就去看书、查资料去了，事实上并没有，可能当时健忘症又犯了，在这之后的相当长一段时间内再没有见到这让我不舒服的鬼东西。

但世界就是这样，那些我们曾经刻意逃避的，不愿意正视的事情或问题总会在某个时刻再次与我们狭路相逢。这不，这两天看《非线性等离子体物理引论》的时候又见到了这个鬼东西。说实话，当看到它的时候还是有那么一点点的心虚，有一点点的畏惧。为了再次看到它时变得理直气壮，心里暗自下了个决定，这次一定要干掉它。

二

仔细瞅了这个公式几遍，感觉似乎变得温顺合理了一些。在自变量大部分的范围跟一般的分式函数没什么区别，乖乖的平滑变化，但在的地方它就突然变脸了，突然发生了一个跳变。这样，在它的大部分区间就用它的主值表示，在发生跳变的时候用那个很跳的狄拉克函数)表示，所以也就是通过两个函数叠加来构造这个函数。

既然这样，我们就从这个比较奇怪的地方入手吧。让x在x=a附近有个微小的扰动，即在x=a附近我们做这样的代换
其中ε 是个小量。这样:
^2+\epsilon2}=\lim_{\epsilon\to0}\frac{x-a}{(x-a)^2+\epsilon2}-i\lim_{\epsilon\to0}\frac{\epsilon}{(x-a)^2+\epsilon2}\=\frac{x-a}{(x-a)^{2}-i\lim_{\epsilon\to0}\frac{\epsilon}{(x-a)}2+\epsilon^{2}=P[\frac{1}{x-a}]-i\lim_{\epsilon\to0}\frac{\epsilon}{(x-a)}2+\epsilon^2})

接下来就是要解决
^2+\epsilon2}=-\pi\delta(x-a))
的问题啦。然而，看来看去还是搞不定。既然从左至右推不出来，那就索性证明左边确实等于右边吧。

• 当
  ^2+\epsilon2}=0)

• 当
  ^2+\epsilon2}=\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\epsilon}{\epsilon^2}=\infty)
  这确实有点像狄拉克函数的模样啊，那究竟是不是呢？让我想想狄拉克函数的性质
   = \begin{cases} +\infty, & x = 0 \ 0, & x \ne 0 \end{cases})
   , dx = 1)
  也就是说要保证是狄拉克函数，还得保证其从负无穷到正无穷的积分为1。那我们下边就验证一下吧

  • 在的时候有：
    ^2+\epsilon2},dx=\lim_{\epsilon \to 0_{+}}\int_{0}^{+\infty} \frac{2\epsilon}{u^2+\epsilon2},du\=\lim_{\epsilon \to 0_{+}}\int_{0}^{+\infty} \frac{2}{1+(\frac{u}{\epsilon})^2},d(\frac{u}{\epsilon})=2\lim_{\epsilon \to0_{+}}\arctan\frac{u}{\epsilon}\vert _{0}^{+\infty}=\pi)
  • 在的时候有：
    ^2+\epsilon2},dx=\lim_{\epsilon \to 0_{-}}\int_{0}^{+\infty} \frac{2\epsilon}{u^2+\epsilon2},du\=\lim_{\epsilon \to 0_{-}}\int_{0}^{+\infty} \frac{2}{1+(\frac{u}{\epsilon})^2},d(\frac{u}{\epsilon})=2\lim_{\epsilon \to0_{-}}\arctan\frac{u}{\epsilon}\vert _{0}^{+\infty}=-\pi)

所以严格的说应该是：
)
bingo！以后用这个公式的时候可以不用那么心虚了，但还不敢说理直气壮，毕竟只是验证，没有完全证明，后边有时间了再琢磨琢磨该怎么搞。

END