程序设计与算法(一) 第十一周

二分查找

程序或算法的时间复杂度

一个程序或算法的时间效率，也称“时间复杂度”，有时简称“复杂度”
复杂度常用大的字母O和小写字母n来表示，比如O(n),O(n2)等。n代表问题的
规模
时间复杂度是用算法运行过程中，某种时间固定的操作需要被执行的次数和n
的关系来度量的。在无序数列中查找某个数，复杂度是O(n)
计算复杂度的时候，只统计执行次数最多的(n足够大时)那种固定操作的次数
。比如某个算法需要执行加法n2次，除法n次，那么就记其复杂度是O(n2)的。

插入排序

void InsertionSort(int a[] ,int size)
{
for(int i = 1;i < size; ++i ) {
//a[i]是最左的无序元素，每次循环将a[i]放到合适位置
for(int j = 0; j < i; ++j)
if( a[j]>a[i]) {
//要把a[i]放到位置j，原下标j到 i-1的元素都往后移一个位子
int tmp = a[i];
for(int k = i; k > j; --k)
a[k] = a[k-1];
a[j] = tmp;
break;
}
}
} //复杂度O(n2)

如果复杂度是多个n的函数之和，则只关心随n的增长增长得最快的那个函数
O(n3+n2
) => O(n3
)
O(2n+n3
) => O(2n
)
O(n! + 3n
) => O(n!)
常数复杂度：O(1) 时间(操作次数)和问题的规模无关
对数复杂度：O(log(n))
线性复杂度：O(n)
多项式复杂度：O(n
k )
指数复杂度：O(an )
阶乘复杂度：O(n! )
复杂度有“平均复杂度”和“最坏复杂度”两种。
两者可能一致，也可能不一致
在无序数列中查找某个数(顺序查找) O(n)
平面上有n个点，要求出任意两点之间的距离 O(n2)
插入排序、选择排序、冒泡排序 O(n2)
快速排序 O( n*log(n))
二分查找 O(log(n))

二分查找

A心里想一个1-1000之间的数，B来猜，可以问问题，A只能回答是或否。
怎么猜才能问的问题次数最少？是1吗？是2吗？.......是999吗？平均要问500次大于500吗？大于750吗？大于625吗？ ......每次缩小猜测范围到上次的一半，只需要 10次

二分查找函数

写一个函数BinarySeach，在包含size个元素的、从小到大排序的int数组a里查找元素p,如果找到，则返回元素下标，如果找不到，则返回-1。要求复杂度O(log(n))

int BinarySearch(int a[],int size,int p)
{
int L = 0; //查找区间的左端点
int R = size - 1; //查找区间的右端点
while( L <= R) { //如果查找区间不为空就继续查找
int mid = L+(R-L)/2; //取查找区间正中元素的下标
if( p == a[mid] )
return mid;
else if( p > a[mid])
L = mid + 1; //设置新的查找区间的左端点
else
R = mid - 1; //设置新的查找区间的右端点
}
return -1;
} //复杂度O(log(n))

写一个函数LowerBound，在包含size个元素的、从小到大排序的int数组a里查找比给定整数p小的，下标最大的元素。找到则返回其下标，找不到则返回-1

int LowerBound(int a[],int size,int p) //复杂度O(log(n))
{
int L = 0; //查找区间的左端点
int R = size - 1; //查找区间的右端点
int lastPos = -1; //到目前为止找到的最优解
while( L <= R) { //如果查找区间不为空就继续查找
int mid = L+(R-L)/2; //取查找区间正中元素的下标
if(a[mid]>= p)
R = mid - 1;
else {
lastPos = mid;
L = mid+1;
}
}
return lastPos;
}

注意：
int mid = (L+R)/2; //取查找区间正中元素的下标
为了防止 (L+R)过大溢出:
int mid = L+(R-L)/2;

二分法求方程的根
求下面方程的一个根：f(x) = x^3-5x2+10^x-80 = 0
若求出的根是a，则要求 |f(a)| <= 10^(-6)

解法：对f(x)求导，得f'(x)=3x^2-10x+10。由一元二次方程求根公式知方程
f'(x)= 0 无解，因此f'(x)恒大于0。故f(x)是单调递增的。易知 f(0) < 0且
f(100)>0,所以区间[0,100]内必然有且只有一个根。由于f(x)在[0,100]内是
单调的，所以可以用二分的办法在区间[0,100]中寻找根。

二分法求方程的根

#include 
#include 
#include 
using namespace std;
double EPS = 1e-6;
double f(double x) { return x*x*x - 5*x*x + 10*x - 80; }
int main() {
double root, x1 = 0, x2 = 100,y;
root = x1+(x2-x1)/2;
int triedTimes = 1; //记录一共尝试多少次，对求根来说不是必须的
y = f(root);
while( fabs(y) > EPS) {
if( y > 0 ) x2 = root;
else x1 = root;
root = x1+(x2 - x1)/2;
y = f(root);
triedTimes ++;
}
printf("%.8f\n",root);
printf("%d",triedTimes);
return 0;
}

例题1
输入n ( n<= 100,000)个整数，找出其中的两个数，它们之和等于整数m(假定
肯定有解)。题中所有整数都能用 int 表示
解法1：用两重循环，枚举所有的取数方法，复杂度是O(n2)的。
for(int i = 0;i < n-1; ++i)
for(int j = i + 1; j < n; ++j)
if( a[i]+a[j] == m)
break;
100,0002 = 100亿，在各种OJ上提交或参加各种程序设计竞赛，这样的复杂度都会超时
！

解法2：

将数组排序，复杂度是O(n×log(n))
对数组中的每个元素a[i],在数组中二分查找m-a[i]，看能否找到。复杂度log(n)
，最坏要查找n-2次，所以查找这部分的复杂度也是O(n×log(n))
这种解法总的复杂度是O(n×log(n))的

解法3：

将数组排序，复杂度是O(n×log(n))
查找的时候，设置两个变量i和j,i初值是0,j初值是n-1.看a[i]+a[j],如果大于m，
就让j减1，如果小于m,就让i加1，直至a[i]+a[j]=m。
这种解法总的复杂度是O(n×log(n))的。

例题2 百练 2456:Aggressive cows
http://bailian.openjudge.cn/practice/2456
农夫 John 建造了一座很长的畜栏，它包括N (2≤N≤100,000)个隔间，这
些小隔间的位置为x0
,...,xN-1 (0≤xi≤1,000,000,000,均为整数,各不相同).
John的C (2≤C≤N)头牛每头分到一个隔间。牛都希望互相离得远点省得
互相打扰。怎样才能使任意两头牛之间的最小距离尽可能的大，这个最
大的最小距离是多少呢？

解法1：

先得到排序后的隔间坐标 x0,...,xN-1

从1,000,000,000/C到1依次尝试这个“最大的最近距离”D，找到的
第一个可行的就是答案。

尝试方法：

第1头牛放在x0
若第k头牛放在xi ，则找到xi+1到xN-1中第一个位于[xi+D, 1,000,000,000]中的Xj
第k+1头牛放在Xj。找不到这样的Xj,则 D=D-1,转 1)再试

若所有牛都能放下，则D即答案
复杂度 1,000,000,000/C *N，即 1,000,000,000, 超时!

解法2：

先得到排序后的隔间坐标 x0,...,xN-1

在[L,R]内用二分法尝试“最大最近距离”D = (L+R)/2 (L,R初值为
[1, 1,000,000,000/C]

若D可行，则记住该D，然后在新[L,R]中继续尝试(L= D+1)
若D不可行，则在新[L,R]中继续尝试(R= D-1)

复杂度 log(1,000,000,000/C) * N

程序设计与算法(一) 第十一周

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