纸笔的力量(2011-01-01)

对 Mathematica 着迷了，虽然我知道这热情不会持续多久。还是喜欢在解决问题中学习，这次是 Project Euler 的第 38 问。

提问：一个数依次×1，×2，……把所得连接成一个 9 位数，如果这个 9 位数正好是 1 到 9 的一个组合，则称其为原数的 pandigital 数。

回答：

（原图已丢失）

这段代码自己都觉得有点对不住观众，于是到论坛去取经。果然又找到了one-liner。

f = Join @@ IntegerDigits[# {1, 2}] &  
For[n = 1*^4, Union@f@n =!= Range@9, n--]  
Row@f@n  

不过最让人惊叹的还是占着沙发的老兄，这哥们自豪地写道“我已经用纸和笔解决了”。这是 Project Euler 界的最高荣誉了。

他这样分析道：

我们已经知道 9 的 pandigital 数是 918273645 了，我们要找的数应该大于等于它。

• 既然 pandigital 数是由 ×1，×2，……连接而来，那么最大的 pandigital 数必定以 9 开头（因为它要大于等于 918273645 ）；
• 它不可能是 9 开头的两位数9[0-9]，这种数的 pandigital 数要么是 8 位，要么是 11 位；

它不可能是 9 开头的三位数9[0-9][0-9]，这种数的 pandigital 数要么是 7 位，要么是 11 位； 它不可能大于 100,000 ，这种数的 pandigital 数位数肯定多于 9 位；

所以，我们要寻找的数只能是 9 开头的四位数9[0-9][0-9][0-9]。

• 它不含 0 ，因为 0 乘任何数仍为 0 ，而该数的 pandigital 数只含 1 到 9 ；
• 它的各位均不同，否则 ×1 时就会产生相同的数；
• 它必然不含 1 ，因为 ×2 的时候会产生 1 ，谁让你 9 打头呢；
• 它的次高位不会是 5 以上，因为 ×2 的时候会出现 9 ，与 ×1 的时候的 9 重复(9[5-9][2-9][2-9]×2 = 19xxx)；
• 它的次高位不会是 4 ，因为 ×2 的时候会出现两个 8 或者一个 9(94[2-9][2-9]×2 = 18[8-9]xx)；

现在看来，可能是数只能是9[2-3][2-7][2-7]了。我们试试93[2-7][2-7]：

• 它的第 3 位不会是 7 ，因为 ×2 的时候会出现 7 ，与 ×1 时重合(937[2-7]×2 = 187xx)；
• 它的第 3 位不会是 6 ，因为 ×1 的时候曾出现 3 ，所以 ×2 时不能有进位(936[2-4]×2 = 1872x，x必为偶数，其 pandigital 数缺 5 )；
• 它的第 3 位不会是 5 ，因为 ×2 的时候会出现两个 1 或者一个 0(935[2-7]×2 = 187[0-1]x)；
• 它的第 3 位不会是 4 ，因为 ×2 的时候会出现两个 8 或者一个 9(934[2-7]×2 = 186[8-9]x)；
• 它的第 3 位不会是 3 ，因为出现了两个 3(933[2-7])；

我们试试 9327 吧：

• 9327 × 1 = 9327
• 9327 × 2 = 18654

就是它了！