你不知道的小2：小个子也有大能量

在数学世界里，有一个小2，它叫平方。别看它个子小，却拥有着莫大的能量，它带来的不是成倍的增加，而是指数的增长。今天我带你走进平方的世界，探索它的秘密。

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直角三角形有一个著名的定律，名为勾股定律，用3、4、5分别代表直角三角形的三条边，则存在一个这样的等式：

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观察该等式，我们发现，3、4、5为三个连续的自然数，并且等式左边有两个数，等式右边有一个数，暂且称之为左二右一。

俄罗斯有一副名为《难题》的壁画，画的是一位自然科学教授拉金斯基的故事，拉金斯基教授自愿来到农村学校当一名普通教师，给孩子们做启蒙教育。画中有一道他给孩子们出的题目，题目里包含了5个自然数的平方，分别是：

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观察并计算这5个平方数，我们可以得出另一个等式：

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等式中，10、11、12、13、14是五个连续的自然数，它们的平方正好组成了这个等式，左边有三个数，右边有两个数，称之为左三右二。

现在，我们进行猜想，是否存在其他由多个连续自然数的平方形成的等式，比如左四右三，左五右四等。

经过测算，可以发现确实存在这样的情况，比如有连续7个自然数的平方，将之分成左边四个，右边三个，可形成一个等式：

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也存在连续9个自然数的平方，分为左边五个，右边四个后，正好组成一个等式：

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现在做进一步猜测，这类连续平方数的等式是否无限存在呢？是否存在这样一个普遍的情况，（2n+1）个连续自然数的平方，将它们分成左右两组，左边有（n+1）个连续自然数的平方，右边有另外n个连续自然数的平方，左右两边可形成一个等式：左边（n+1）个连续自然数的平方之和=右边n个连续自然数的平方之和。

下面先列出几个等式，并从这些等式中寻找内在的规律。

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六个等式的右边分别有1至6个连续自然数的平方。现在我们把每个等式中包含的连续自然数的中位数分别提取出来，探索它们之间的规律。

等式一（右侧1个平方数）：

4=1*4=（1*（1+1）/2）*4

等式二（右侧2个平方数）：

12=3*4=（1+2）*4=（2*（2+1）/2）*4

等式三（右侧3个平方数）：

24=6*4=（1+2+3）*4=（3*（3+1）/2）*4

等式四（右侧4个平方数）：

40=10*4=（1+2+3+4）*4=（4*（4+1）/2）*4

等式五（右侧5个平方数）：

60=15*4=（1+2+3+4+5）*4=（5*（5+1）/2）*4

等式六（右侧6个平方数）：

84=21*4=（1+2+3+4+5+6）*4=（6*（6+1）/2）*4

经过上述六个等式的研究，已经发现这类等式的规律。当第n个等式出现的时候，等式的右边有n个连续自然数的平方，左边有（n+1）个连续自然数的平方，且这（2n+1）个连续自然数的中位数，可以表示成（n*（n+1）/2）*4=2n*（n+1）。

因此，第n个等式中，连续（2n+1）个自然数的平方，其中位数可以表示成：

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至此，也证明了这些等式可以无止境的一直写下去，形成一个别具一格的金字塔形。

数学，很美妙，你思考了，就会有发现；生活，很美好，你品读了，将会有收获。在生活中做个有心人，生活反馈给你的，会超乎你的想象，就好像，本文中连续自然数的平方，我们思考了，研究了，规律就出现了。

寻找这类等式的规律，我们从最简单的开始，层层递进，一步一个脚印；生活中，也要从小事做起，积少成多，聚沙成塔。

涓涓细流汇成海，点点纤尘积就山。你当前的不成功不是你不够努力，而是你努力不够！继续沉淀，成功会在不经意间跃然眼前。

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作者：努力原创的pu爸