有向无环图(DAG)单源最短路径

1、基本算法
我们知道DAG上一定存在拓扑排序，且若在有向图G中从顶点Vi->Vj有一条路径，则在拓扑排序中顶点Vi一定在顶点Vj之前，而因为在DAG图中没有环，所以按照DAG图的拓扑排序进行序列最短路径的更新，一定能求出最短路径。即使存在权重为负的边,但是它是有向无环图,所以它一定不存在权重为负的环,所以一定可以求出最短路径。
2、基本步骤
处理顶点V时，对每条离开的边执行松弛运算。若果给出从源点到v的一条最短路径（经过u），则更新到v的最短路径。这个过程将检查图中每个顶点的所有路径，同时，拓扑排序确保按正确的顺序处理顶点。
3、正确性验证
如果有向无环图包含从结点u到结点v的最短路径,则u在拓扑排序中一定位于v的前面。我们只需要按照拓扑排序的次序对结点进行一次遍历处理即可。每次对一个结点进行处理时,我们对该结点出发的所有的边进行松弛操作。
4、时间复杂度:
拓扑排序为O( V + E ),松弛操作那部分的代码的时间复杂度为O( V + E ),所以时间复杂度为O( V + E )
伪代码：
（1）初始化，源点的d值为0，其他的节点d值为INF。
（2）对DAG进行拓扑排序，得到拓扑序列。
（3）按照拓扑序列遍历DAG的点，对于每个点u，遍历其所有的出边，如果d[v] > d[u] + length，则更新。

#include 
#include
#include
using namespace std;
const int MAXE=1000010;
const int MAXN=100010;
const int INF=0x3f3f3f3f;
struct Node
{
    int to,val,next;
};
Node edge[MAXE];
int head[MAXN];
queue result;
int in[MAXN];
int dis[MAXN];
int cnt;
void addEdge(int u,int v,int val)
{
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].next=head[u];
    edge[cnt].val=val;
    head[u]=cnt++;
}
void topoSort(int n)
{
    queue zero;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(in[i]==0) zero.push(i);
    }
    while(!zero.empty())
    {
        int u=zero.front();
        zero.pop();
        result.push(u);
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].to;
            in[v]--;
            if(in[v]==0) zero.push(v);
        }
    }
}
void DAGShortestPath(int st,int n)
{
    topoSort(n);
    memset(dis,INF,sizeof(dis));
    dis[st]=0;
    while(!result.empty())
    {
        int u=result.front();
        result.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].to;
            if(dis[v]>dis[u]+edge[i].val)
            {
                dis[v]=dis[u]+edge[i].val;
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(dis[i]==INF) printf("INF\n");
        else printf("%d\n",dis[i]);
    }
}
int main()
{
    int n,m,a,b,val,st;
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF)
    {
        scanf("%d",&st);
        memset(head,-1,sizeof(head));
        memset(in,0,sizeof(in));
        cnt=0;
        for(int i=1;i<=m;i++)
        {
            scanf("%d%d%d",&a,&b,&val);
            addEdge(a,b,val);
            in[b]++;
        }
        DAGShortestPath(st,n);
    }
}

Test for Job
题意:
给定一个DAG,求入度为0的点到出度为0的点的最长路径
题解:

#include 
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int MAXE=1000010;
const int MAXN=100010;
const long long INF=-0x7fffffffffffffff;
struct Node
{
    int to,val,next;
};
Node edge[MAXE];
int head[MAXN];
queue result;
int in[MAXN];
int out[MAXN];
long long dis[MAXN];
int weight[MAXN];
int cnt;
void addEdge(int u,int v,int val)
{
    edge[cnt].to=v;
    edge[cnt].next=head[u];
    edge[cnt].val=val;
    head[u]=cnt++;
}
void topoSort(int n)
{
    queue zero;
    for(int i=0;i<=n;i++)
    {
        if(in[i]==0) zero.push(i);
    }
    while(!zero.empty())
    {
        int u=zero.front();
        zero.pop();
        result.push(u);
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            in[edge[i].to]--;
            if(in[edge[i].to]==0) zero.push(edge[i].to);
        }
    }
}
void DAGShortestPath(int st,int n)
{
    topoSort(n);
    for(int i=0;i<=n;i++) dis[i]=INF;
    dis[st]=0;
    while(!result.empty())
    {
        int u=result.front();
        result.pop();
        for(int i=head[u];i!=-1;i=edge[i].next)
        {
            int v=edge[i].to;
            if(dis[v]