机器学习入门笔记2-单变量线性回归

介绍单变量的线性回归以及用梯度下降法求解参数。

2.1 模型表示

机器学习的目标就是，给定一个训练集，去学习一个假设，它能很好地预测出输入对应的输出值。

• 描述问题的标记：

  
  
  

2.2 代价函数

单变量线性回归的一种可能的表示如下：

• 参数 theta 的选择决定了模型预测值与实际值之间的差距。下图中蓝色垂线代表建模误差。

  
  
  

• 我们的目标选择出可以使建模误差的平方和最小的模型参数。即，使得下列代价函数最小：

  
  
  
  
  

  平方误差是解决回归问题最常用的手段。

2.3 梯度下降

在前面一小节已经说到，我们要找到使得代价函数最小的那组theta值，因此这里引入梯度下降法。

• 目标：
  

• 梯度下降算法：
  
  
  

  更新theta的值，使得代价函数按梯度下降最快的方向进行，一直迭代下去，最终得到局部最小值。

  
  
  

• 学习率 α 决定了沿着能让代价函数下降程度最大的方向，向下迈出的步子有多大。
  学习率太大，梯度下降法可能会越过最低点，甚至导致无法发散。
  学习率过小，梯度下降会非常慢，因为每次迭代只能走一小步。

  
  
  

假设θ开始被放在局部最低点会怎样？
局部最低点导数为0，θ将不被更新。这也解释了为什么即使学习率不变，梯度下降也能收敛到局部最低点。其实在梯度下降过程中，向局部最小值方向移动时，切线斜率会越来越小，实际上每次更新的幅度也在减小，所以没必要再另外减小α。

2.4 梯度下降的线性回归

介绍到这里，我们就可以拿梯度下降法来求解线性回归的最优解了。回顾下线性回归模型和代价函数，我们要做得是对代价函数求关于θ的偏导数，从而不断更新θ，使得到达局部最低点。实际上对于线性回归，其代价函数是凸函数，所以局部最低点也是全局最低点。
以下是求导过程，省略了某些细节。

所以，在算法中，只需要按照上式更新。