有关排列组合的一道算法题

有关排列组合的一道算法题

一、题目内容

废话不多说，先上题目：

有一个 n × m 的网格，左下角为A，右上角为B，规定每次只能走一步，并且方向只能是向上或者向右，求A到B共有多少种走法？(例如一个日字形的格子就是一个2 × 1的网格，共有3种走法)并用Javascript写出程序算法。

大家可以先思考一下怎么做，再去看我的方法。

二、解决方法

这个问题我想了很久，一直在走弯路，其实用一个抽象的数学方法就可以很轻松解决这个问题。

现在你可以把向右移动想象成记录一个数字1，把向上移动抽象成记录一个数字0，并且这些数字是按顺序排列的。

看到这里我相信聪明的小伙伴已经想到了如何解决这个问题。

这个问题可以抽象成n个0和m个1的不同排列的总数。比如2 × 2的网格就是2个0和2个1的所有不同排列的数量，也就是1100，1010，1001，0110，0101，0011。

进而，我们可以把问题抽象成从(m + n)个0中，随意抽取m个0并将它改为1的不同方法数，是不是觉得问题很熟悉，没错！就是高中的排列组合。我先把公式亮出来：

C(m, n + m) = (n + m)!/(m! * n!)

想先复习一下排列组合知识的同学可以参见下一节。

三、Javascript代码描述

以上的结果用JS的描述，如下：

function getMethods(n, m) {
  // 定义一个求阶乘的辅助函数
  function factorial(x) {
    if (x === 0) {
      return 1
    } else {
      return factorial(x -1) * x
    }
  }
  return factorial(m + n)/(factorial(m) * factorial(n))
}

如果小伙伴有好的算法，可以留言交流！

四、排列组合

简单地讲一下排列和组合。

排列

先举个栗子（以下n，m均为正整数），从n个含有标有不同数字小球的袋子里，按顺序抽取n个小球，且抽取后不再放入袋子里。第一次抽的时候，有n种可能；第二次抽的时候有n - 1种可能，以此类推，抽完n个小球总共的不同排列个数为n!。

如果条件不变，只把抽取的小球个数改为m（m <= n）个，结果也就变成：

n × (n - 1) × (n - 2) × ... × (n - m + 1)
整理一下即：
A(m, n) = n! / (n - m)!

组合

同样是n个标记不同数字的小球放入一个袋子中，也是抽取m个，但是此时不算抽取的顺序。也就是把排列的结果n!/(n - m)!再除以m个小球随机排列的总方法术，即m!，所以结果为：

C(m, n) = A(m, n) / m! = n! / ( (n - m)! × m! )

如何得出之前的公式

运用以上的知识，可以总结出以下公式：

C(m, n + m) = A(m, n + m) / m!

            = (n + m)! / ( n! × m! )