01-哥德巴赫猜想(Goldbach's Conjecture)--(C语言)

goldbach-partitions-of-the-even.png

前言

哥德巴赫猜想是(Goldbach's Conjecture)是数论中存在最久的未解问题之一，是一个伟大的世界性的数学猜想，其基本思想可以陈述为：

任何一个大于2的偶数，都能表示成两个素数之和。

如：
4 = 2 + 2
6 = 3 + 3
96= 23 + 73

本文将采用两种不同的算法来求出给定范围 n 内的哥德巴赫数字，并对比其时间复杂度，得出更优算法。

分析

根据哥德巴赫猜想，我们可以得出如下信息：

1. 哥德巴赫数字是一个大于2的偶数。
2. 哥德巴赫数字等于两个素数相加。

思路A

思路A与之前见过的很多想法一样，简单粗暴，采用嵌套 for 循环。思路如下：

1. for 循环依次遍历 [4, n] 范围内的偶数。
2. 然后，针对每个数字（c）再次进行 for 循环找出两个数字（a,b）之和等于该数字的数字。（即 c = a + b）
3. 判断 a,b 是否都为素数。
4. 输出结果。

Show the (garbage) code!

实现A

我们把思路A实现的程序分成两个功能模块：

1. 判断是否为素数模块 int isPrime(int i)，返回 1 即为素数。

   
   int isPrime(int i) {
       int j;
       if (i <= 1) return 0;
       if (i == 2) return 1;
       for (j = 2; j < i; j ++) {
           number ++;
           if (i % j == 0) {
           return 0;
           }else if(i != j + 1) {
               continue;
           }else {
               return 1;
           }
       }
   }
   
   

2. 主程序模块：针对 [4, n] 之间的正偶数进行数值拆分，然后再用isPrime函数进行筛选，如果k，j都为素数，即满足哥德巴赫猜想，输出该数字。

   do {
       printf("please enter a number:");
       int number = 0;
       scanf("%d", &number);
       int i, j, k;
       for (int i = 4; i <= number; i += 2) {
           for (k = 2; k<= i/2; k ++) {
               j = i - k;
               if (isPrime(k)) {
                   if (isPrime(j)) {
                       printf("%d=%d+%d\n",i, k, j);
                   }
               }
           }
       }
   }while (1);
   
   

思路B

递归算法，也是我业余时间自己写的一个，递归路径类似鱼骨头，基本思路如下：

1. 针对输入的 n 进行拆分（c = a + b 的形式）并递归。
2. 如果拆分的数字 a,b 为偶数，则可能为符合哥德巴赫猜想，回到1。
3. 如果 c 为偶数，且 a,b 为素数，即满足哥德巴赫猜想，输出该数字。

这里笔者画了一张抽象的鱼骨头图，帮助读者理解：

goldbach-conjecture-fish.png

实现B

思路B实现的程序主要分成三个功能模块，为了区分思路A，判断素数的模块也采用递归的形式：

1. 判断是否为素数 int isPrime(int i)，返回 1 即为素数。

   
   // 判断偶数
   int isEven(int original) {
       return (original % 2 == 0);
   }
   
   int isPrimeInner(int original, int current) {
       if (current<=0 || original<=0 || original == 1) return 0;
       if (original % 2 == 0) {
           if (original == 2) return 1;
           return 0;
       }
       if (current > (original / 2) + 1) return 1;
       if (original % current == 0 && current != 1) return 0;
       return isPrimeInner(original, current + 2);
   }
   
   // 判断是否为偶数
   int isPrime(int original) {
       return isPrimeInner(original, 1);
   }
   
   

2. 递归模块

   参数 current: 代表分裂初始值，参数 flag: 代表是否深入遍历，此处用于控制重复遍历的情况，如：original=10 时，second=8 时，两次会都会重复遍历 6/4/2，因此加入flag进行限制，只进行一次深入遍历！！

   
   void splitSumInner(int c, int current, int flag) {
       // 哥德巴赫为大于2的偶数
       if (c <= 2) return;
       // 如果 current 大于 c 的一半，即代表遍历完毕
       if (current >= (c / 2) + 1) return;
   
       // 第一次分裂 c 数值
       int a = current;
       int b = c - current;
   
       // 递归遍历并分裂 c 数值
       splitSumInner(c, ++ current, flag);
   
       // 判断能否深入遍历
       if (flag && a > 2 && isEven(a)) {
           // 深入遍历 分裂第一个子偶数
           splitSum(a, 0);
       }
   
       if (flag && b > 2 && isEven(b)) {
           // 深入遍历 分裂第二个子偶数
           splitSum(b, 0);
       }
       
       // 如果 c 为偶数，且 a,b 为素数，即满足哥德巴赫猜想，输出该数字。
       if (isEven(c) && isPrime(a) && isPrime(b)) {
           printf("\n%d=%d+%d\n",c, a, b);
       }
   }
   
   // original: 待分裂的原始数值（ps：会自动分裂 小于 original 下的所有数值）
   // flag: 1 代表分裂小于 original 下的所有数值；0 代表分裂当前 original 数值
   void splitSum(int original, int flag) {
       splitSumInner(original, 1, flag);
   }
   
   

3. 主程序模块

   
   void goldbachConjecture(int n) {
       splitSum(n, 1);
   }
   
   int main() {
       do {
           printf("please enter a number:");
           int number = 0;
           scanf("%d", &number);
           goldbachConjecture(number);
       } while (1);
       return 0;
   }
   
   

时间复杂度对比

时间复杂度说白了就是算法中基本操作的执行次数，更通俗的说法，就是最深层循环内的语句。基本操作的重复执行次数是和算法的执行时间成正比的。下面我们来粗略计算一下上述算法的时间复杂度。

A 算法分析

在程序 A 中，与下面的代码相同，采用嵌套三层 for 循环的方式进行遍历：

```

for (int i = 1; i <= n; i ++) { // 第一层循环
        for (int j = 1; j <= i; j ++) { // 第二层循环
            for (int k = 1; k <= j; k ++) { // 第三层循环
                count ++;
                printf("%d*%d*%d\n", i, j, k);
            }
        }
    }

```

下面我们来剖析一下基本操作：

1. 第一层 for 循环执行 n 次。

2. 第二层 for 循环以 i 为规模分别执行 1,2,3,4......n-1,n 次，集一个公差为 1 的等差数列，总次数为 (n+1)*n/2。

3. 第三层 for 循环采用排列组合来计算，举个例子，当 n = 3 时，有 10 次基本操作，我们把执行路径格式定义成 ijk，如下:

   
   111
   211  221  222
   311  321  322  331  332  333
   
   

algorithm-analyze-a.png

B 算法分析

algorithm-analyze-b.png

结论

以上时间复杂度只是笔者通过简单粗略的分析得出，仅供参考。通过上述分析，我们发现算法A与算法B时间复杂度是一样的，感兴趣的童鞋可以自己计算上述两种算法的时间复杂度。笔者通过测试发现，相同的问题规模，随着 n 的增大，算法B的时间复杂度要远小于算法A。如：n = 100 时，算法B遍历次数是 6380 次左右，算法A遍历次数高达 15569 次（论算法糟糕的可怕性...）。源码地址