头发多者多愚笨？或许，你和他的头发一样多！

俗话说：聪明的人不顶重发，糊涂鬼顶的一沓发

聪明绝顶

可曾想见

身边的人

从本科——硕士——博士

期间头发的变化

这是一个从有到无的过程……

到底是不是聪明人一定头发少

今天不讨论这个话题

我们讨论有没有两个人头发一样多

答案是毋庸置疑的

肯定是有的

鸽笼原理

1834年

德国狄利克雷提出鸽笼原理

如果n只鸽子住进m个笼子里

并且n>m

至少有一个鸽笼里住了2只或2只以上的鸽子

这个原理不难理解

最早这个原理是有别的名字

抽屉原理

小学奥数里有这一部分知识

第一位在专业数学期刊上使用

鸽笼原理这个词汇的

是1940年的罗宾森

如果n只鸽子住进m个笼子里

并且n>m

至少有一个鸽笼里住了2只或2只以上的鸽子

上面的原理应用非常广泛

从计算机数据压缩到无限元素之间能否形成

一对一的对应关系的问题

都属于此类

简单说一下计算机数据压缩

玩过计算机的小伙伴都会遇到数据压缩

数据压缩包含了文件压缩

数据本来是泛指任何数字化的信息

包括计算机中用到的各种文件

但有时

数据是专指一些具有时间性的数据

这些数据常常是即时采集、即时处理或传输的

而文件压缩就是专指对将要保存在磁盘等物理介质的数据进行压缩

如一篇文章数据

一段音乐数据

一段程序编码数据等的压缩

鸽笼原理在概率上的一般化推论是

将n只鸽子随机放入m个鸽笼里

的概率都是1/m

则至少有一个鸽笼住着一只以上的鸽子

的概率是

1-m！/[(m-n)!m^n]

那么

回归我们前面说的两个人头发数量相同的情形

人的头发不足100万根

因此

我们有理由想到

在人口超过100万的城市里

一定有至少2个人头发数量相同

从理论上来讲是没有问题的

当然

我们不可能一个个去数

也不会去薅羊毛

再举一个例子

在一张A4纸上表面上随意涂上

红、蓝两种颜色

无论涂色方式多么复杂

我们能否一定可以找到一对

距离1cm的两个点是相同颜色的？

其实

只需要画一个等边三角形（边长为1cm）

就可以解决问题

我们设定红、蓝两色为鸽笼

三角形的三个顶点为三个鸽子

则三个顶点中一定起码有两个点的颜色是一样的

这就证明了我们一定

可以找到一组相距1cm的点（颜色相同）

在1947年的匈牙利数学竞赛上有一个有趣的题目

求证：6个人同行，其中或有3个人两两相识，或有3个人两两不相识

这是一个图的问题

如图所示

我们标出A . B. C. D. E. F 代表这6个人

如果认识，我们用蓝色的线连起来

如果不认识，我们用红色的线连起来

这个问题转化为了证明

总会出现红色三角形（三条线都是红色）

或者蓝色三角形（三条边都是蓝色）

事情用图来说明

不难理解了

比如从A出发的有5条线

根据抽屉原理

至少有3条同色

假如是AB、AC、AD同色（蓝色）

如果三角形BCD是红色的

问题就解决了（3个人两两不相识）

若BD、CD、BC中至少有一个是蓝色的

比如BD是蓝色的

那三角形ABC就是蓝色的了（3个人两两相识）

于是这个问题就解决了。

这个问题引起了数学界的兴趣

从中引出了更深刻更一般的问题：

有若干个点

点与点之间用红色或蓝色线段连接

至少一定能出现多少个同色三角形（各边均为红色或蓝色）.

数学家古德曼曾经在1959年证明了：

当n=2m（偶数）时，同色三角形至少有：

当n=4m+1时，同色三角形至少有：

当n=4m+3时，同色三角形至少有：

如果做更深层次的研究

研究集合中元素之间或子集之间的关系

就可以问：有没有一些特定关系的元素或子集存在？

经过研究发现

只要集合足够大

总能找到各式各样的子集

文章首发于公号【趣味数学故事】