2019-11-16 关于 Eigenvectors From Eigenvalues

2019-11-16 Saturday

• 3个搞物理的颠覆了数学常识，数学天才陶哲轩：我开始压根不相信 -- 2019.11.15

• 1908.03795 Eigenvectors From Eigenvalues

一个关于特征值的问题昨天刷爆了我的朋友圈，今早得知在徐树方的书《矩阵计算的理论与方法》（1995年出版）中就有这样的性质了。

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根据书中参考文献，找到了 Paige 在 1970s 的一些文章：

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搜了搜 [56] 这篇

Paige, Chris C. "Accuracy and effectiveness of the Lanczos algorithm for the symmetric eigenproblem." Linear algebra and its applications 34 (1980): 235-258.

其中 (3.5) 式对应了徐老师书里的 (3.19) 式

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而且还指出这个结论来自于下面这篇文章：

Thompson, R. C., and P. McEnteggert. "Principal submatrices II: The upper and lower quadratic inequalities." Linear Algebra and its Applications 1.2 (1968): 211-243.

这篇文章考虑的是 Hermitian matrix，提到的性质：

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其实在 Tao 的博客 2019-08-13 的博文 的留言中也提到关于这个性质的参考文献：

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For a semantic search engine, try to use: https://zbmath.org/formulae/ -- 亲测这确实是个不错的搜索工具，但只能显示前 3 条搜索结果...

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总结一下，1908.03795 Eigenvectors From Eigenvalues 中给出的结果 50 多年前就有了，而且 20 多年前就已作为引理写入了教材中。这一结果被物理学家重新发现，是否预示着这个结果具有更为重要的物理意义？目前尚不知晓。