Codeforces Round #458 Div.2 C. Travelling Salesman and Special Numbers

一、题目

http://codeforces.com/contest/914/problem/C

二、分析

（一）reduce规则

例1：13-->1，需要三步：

十进制	二进制	1的个数
13	1101	3
3	11	2
2	10	1

例2：1023-->1，需要3步

十进制	二进制	1的个数
1023	1111111111	10
10	1010	2
2	10	1

例3：255-->1，需要4步

十进制	二进制	1的个数
255	1111111	7
7	111	3
3	11	2
2	10	1

（二）特别数字（Special Number）

以1~13为例，
1-->1需要0步，
2-->1需要1步：2=(10)B-->1
3-->1需要2步：3=(11)B-->2, 2=(10)B-->1
4-->1需要1步：4=(100)B-->1
5-->1需要2步：5=(101)B-->2, 2=(10)B-->1
6-->1需要2步：6=(110)B-->2, 2=(10)B-->1
7-->1需要3步：7=(111)B-->3, 3=(11)B-->2, 2=(10)B-->1
8-->1需要1步：8=(1000)B-->1
9-->1需要2步：9=(1001)B-->2, 2=(10)B-->1
10-->1需要2步：10=(1010)B-->2, 2=(10)B-->1
11-->1需要3步：11=(1011)B-->3, 3=(11)B-->2, 2=(10)B-->1
12-->1需要2步：12=(1100)B-->2, 2=(10)B-->1
13-->1需要3步：13=(1101)B-->3, 3=(11)B-->2, 2=(10)B-->1
14-->1需要3步：14=(1110)B-->3, 3=(11)B-->2, 2=(10)B-->1
15-->1需要2步：15=(1111)B-->4, 4=(100)B-->1
16-->1需要1步：16=(10000)B-->1

这里的步数，即为题目中的k。
当k = 1时，表示经过1步可以转化为1。在1~16中，有4个数符合要求：2，4，8，16。即特别数字有3个。
当k = 2时，表示经过2步可以转化为1。在1~16中，有7个数符合要求：3，5，6，9，10，12，15。即特别数字有7个。
当k = 3时，表示经过4步可以转化为1。在1~16中，有3个数符合要求：7，11，13，14。即特别数字有4个。

（三）求n中1的个数。

n = 1，1的个数为1
n = 2 = (10)B，1的个数为1
n = 3 = (11)B，1的个数为2
n = 4 = (100)B，1的个数为1
n = 5 = (101)B，1的个数为2
n = 6 = (110)B，1的个数为2
n = 7 = (111)B，1的个数为3
n = 8 = (1000)B，1的个数为1
n = 9 = (1001)B，1的个数为2
n = 10 = (1010)B，1的个数为2
n = 11 = (1011)B，1的个数为3
n = 12 = (1100)B，1的个数为2
n = 13 = (1101)B，1的个数为3
n = 14 = (1110)B，1的个数为3
n = 15 = (1111)B，1的个数为4
n = 16 = (10000)B，1的个数为1
……

（四）动态规划

根据（二）中的分析，可以利用动态规划求步数。用dp[x]来表示某数经过x步后转化为1。
dp[1] = 0
dp[2] = dp[2中1的个数] + 1 = dp[1] + 1 = 1
dp[3] = dp[3中1的个数] + 1 = dp[2] + 1 = 2
dp[4] = dp[4中1的个数] + 1 = dp[1] + 1 = 1
dp[5] = dp[5中1的个数] + 1 = dp[2] + 1 = 2
dp[6] = dp[6中1的个数] + 1 = dp[2] + 1 = 2
dp[7] = dp[7中1的个数] + 1 = dp[3] + 1 = 3
dp[8] = dp[8中1的个数] + 1 = dp[1] + 1 = 1
dp[9] = dp[9中1的个数] + 1 = dp[2] + 1 = 2
dp[10] = dp[10中1的个数] + 1 = dp[2] + 1 = 2
dp[11] = dp[11中1的个数] + 1 = dp[3] + 1 = 3
dp[12] = dp[12中1的个数] + 1 = dp[2] + 1 = 2
dp[13] = dp[13中1的个数] + 1 = dp[3] + 1 = 3
dp[14] = dp[14中1的个数] + 1 = dp[3] + 1 = 3
dp[15] = dp[15中1的个数] + 1 = dp[4] + 1 = 2
dp[16] = dp[16中1的个数] + 1 = dp[1] + 1 = 1

代码为：

int ones(int n)
{
  int cnt = 0;
  while(n)
  {
    if(n%2 == 1)
    {
      cnt++;
    }
    n /= 2;
  }

  return cnt;
}

（五）求组合

void combination()
{
  for(int i = 0; i <= 1000; i++)
  {
    com[i][0] = 1;
  }
  for(int i = 1; i <= 1000; i++)
  {
    for(int j = 1; j <= 1000; j++)
    {
      com[i][j] = (com[i-1][j-1] + com[i-1][j])%MOD;
    }
  }
}

（六）利用组合求特别数字

例1：n = (1101)B，k = 1

① 最高位的1替换成0，则四位数为0XXXX。符合条件的有0100, 0010, 0001。也就是C(3, 1)，注意到0001变成1需要0步，不符合k=1，要去掉。所以比n=1101小的特别数字有C(3, 1) - 1个。
② 次高位的1替换成0，则四位数为10XX，这里两个X都必须为0，才符合条件。所以比n=1101小的特别数字有C(2, 0) 个。
③ 第三位为0，不用计算。
④ 把第四位的1替换成0，则四位数为1100。不符合题意。

综上，答案为C(3, 1) - 1 + C(2, 0) = 3

例2：n = (1101)B，k = 2

① 最高位的1替换成0，则四位数为0XXX。
所以比n=1101小的特别数字有C(3, 2)个，即0011, 0101, 0110。
② 次高位的1替换成0，则四位数为10XX。
所以比n=1101小的特别数字有C(2, 1)个，即1001, 1010。
③ 第三位本身即为0，不用计算。
④ 把第四位的1替换成0，则四位数为1100。符合题意。
1100所对应的组合可看成是C(0, 0)。

综上，答案为C(3, 2) + C(2, 1) + C(0, 0) = 3

例3：n = (1101)B，k = 3

① 最高位的1替换成0，则四位数为0XXXX。
所以比n=1101小的特别数字有C(3, 3)个，即0111。
② 把次高位的1替换成0，则四位数为10XX。
所以比n=1101小的特别数字有C(2, 2)个，即1011。
③ 第三位本身即为0，不用计算。
④ 把第四位的1替换成0，则四位数为1100。不符合题意。
⑤ 最后要计算一下所有的1都没被0替换的情况，即n = 1101本身，这个数也符合要求。

综上，答案为C(3, 3) + C(2, 2) + 1 = 3

例4：n = (10000)B, k = 2

① 把最高位的1替换成0，则变为XXXX。
比n=10000小的数有C(4, 2)个，即0011，0101，1001，0110，1010，1100
② 第2、3、4、5位数都是0，不用计算。
③ 最后要计算一下所有的1都没被0替换的情况，即n = 10000本身，这个数也符合要求。

综上，答案为C(4, 2) + 1 = 6

三、完整代码

#include 
using namespace std;


#define MOD 1000000007
#define MAX 1000

int dp[MAX + 1];
long long com[MAX + 1][MAX + 1];

int ones(int n)
{
  int cnt = 0;
  while(n)
  {
    if(n%2 == 1)
    {
      cnt++;
    }
    n /= 2;
  }

  return cnt;
}

void combination()
{
  for(int i = 0; i <= MAX; i++)
  {
    com[i][0] = 1;
  }
  for(int i = 1; i <= MAX; i++)
  {
    for(int j = 1; j <= MAX; j++)
    {
      com[i][j] = (com[i - 1][j - 1] + com[i - 1][j]) % MOD;
    }
  }
}

int main()
{
  string n;
  int k;

  combination();

  dp[1] = 0;
  for(int i = 2; i <= MAX; i++)
  {
    dp[i] = dp[ones(i)] + 1;
  }

  cin >> n >> k;

  if(k == 0)
  {
    cout << "1\n";
    return 0;
  }

  long long oneCnt = 0, ans = 0;
  for(int i = 0; i < n.size(); i++)
  {
    if(n[i] == '0')
    {
      continue;
    }

    // 把第j位上的1用0来代替
    for(int j = max(oneCnt, 1LL); j <= n.size(); j++)
    {
      if(dp[j] == k - 1)
      {
        long long temp = com[n.size() - i - 1][j - oneCnt];
        ans = (ans + temp) % MOD;

        // 1-->0，需要0步，需要把这种情况排除掉
        if(i == 0 && k == 1)
        {
          ans = (ans + MOD - 1) % MOD;
        }
      }
    }
    oneCnt++;
  }

  int cnt = 0;
  for(int i = 0; i < n.size(); i++)
  {
    if(n[i] == '1')
    {
      cnt++;
    }
  }

  // 最后要考虑n本身，能否构成一个special number
  if(dp[cnt] == k - 1)
  {
    ans = (ans + 1) % MOD;
  }
  cout << ans << endl;

  return 0;
}

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