全域哈希原理与实现
1-hash哈希介绍
2-Universal hashing全域哈希法
3-构造一个全域哈希H\mathcal{H}H
4-python实现
1-hash哈希介绍
hash函数y=h(k)y=h(k)y=h(k)，把任意长度的输入kkk通过散列算法hhh变换成固定长度的输出yyy，该输出就是散列值1。一种常见的hash函数是y=H(k)=(a⋅k+b)mod my=H(k)=(a\cdot k+b) \mod my=H(k)=(a⋅k+b)modm，mmm一般取素数。
设hash函数的定义域为KKK，值域为YYY，一般来说，∣K∣>∣Y∣|K|>|Y|∣K∣>∣Y∣，这样hash函数容易出现碰撞，如下图，h(k5)=h(k2)=h(k7)h(k_5)=h(k_2)=h(k_7)h(k5)=h(k2)=h(k7)，k5,k2,k7k_5,k_2,k_7k5,k2,k7在一条链上(碰撞)：
对于hash函数，基本上都能找到一组输入，使得它们的hash值都相同，导致它们在一条链上，有时甚至会比线性查找的复杂度还要高，因为比线性查找多了hash的时间。
2-Universal hashing全域哈希法
思路：解决上述问题的一种方法就是随机。随机从一组hash函数(a family of hash functions)中选择一个。这样选的话，对方就没办法针对特定的hash函数构造一组输入，使得hash函数效率很低。
定义1：U\mathcal{U}U是定义域，H\mathcal{H}H是hash函数的集合，能够将U\mathcal{U}U映射到{0,1,...,m−1}\{0, 1, ..., m-1\}{0,1,...,m−1}，即h:U→{0,1,...,m−1},h∈Hh:\mathcal{U}\rightarrow\{0, 1, ..., m-1\}, h\in \mathcal{H}h:U→{0,1,...,m−1},h∈H.
定义2：如果∀x,y\forall x, y∀x,y满足x≠yx\neq yx=y并且∣{h∈H:h(x)=h(y)}∣=∣H∣m|\{h\in \mathcal{H}:h(x)=h(y)\}|=\frac{|\mathcal{H}|}{m}∣{h∈H:h(x)=h(y)}∣=m∣H∣，则称H\mathcal{H}H是全域(universal)的。
根据定义2，如果h是随机均匀地从H\mathcal{H}H中选择(注意每个输入要重新选择一个hash函数)， 那么xxx和yyy碰撞的概率是：
h(x)=h(y)的函数数量所有的函数=∣H∣m∣H∣=1m.\frac{h(x)=h(y)的函数数量}{所有的函数}
=\frac{\frac{|\mathcal{H}|}{m}}{|\mathcal{H}|}=\frac{1}{m}.所有的函数h(x)=h(y)的函数数量=∣H∣m∣H∣=m1.
定理1：随机均匀地从H\mathcal{H}H(H\mathcal{H}H是全域的)选择hhh，如果我们现在已经把nnn个输入放入了hash表TTT中了，则再给一个输入xxx，有
E[hash表T中元素和x碰撞的数量]
其中E[⋅]E[\cdot]E[⋅]表示期望。
[定理1的重要性] 通过证明上述定理，我们就可以说，如果存在H\mathcal{H}H是全域的，那么最终在hash表TTT中元素的分布(在平均意义上)是均匀的。
定理1的证明. 设CxC_{x}Cx表示在hash表TTT中的随机元素和xxx碰撞的数量，设
Cxy={1if h(x)=h(y)0if h(x)≠h(y)C_{xy}=\left\{\begin{array}{cr}
1 & if\ h(x)=h(y) \\
0 & if\ h(x)\neq h(y)
\end{array}\right.Cxy={10if h(x)=h(y)if h(x)=h(y)
那么,
E[Cx]=E[∑y∈T−xCxy]=∑y∈T−xE[Cxy]因为期望的线性性质=∑y∈T−x1m=(n−1)1m
E[C_x]&=E[\sum_{y\in T-x}C_{xy}] \\
&=\sum_{y\in T-x}E[C_{xy}] & 因为期望的线性性质\\
&=\sum_{y\in T-x}\frac{1}{m} \\
&=(n-1)\frac{1}{m} \\
&<\frac{n}{m}.
\end{array}E[Cx]=E[∑y∈T−xCxy]=∑y∈T−xE[Cxy]=∑y∈T−xm1=(n−1)m1
例子 ：如果n=1,m=2n=1,m=2n=1,m=2，则E[Cx]<12.E[C_x]<\frac{1}{2}.E[Cx]<21.
3-构造一个全域哈希H\mathcal{H}H
定理2: 按照如下四个步骤构造的H\mathcal{H}H是全域的：
(条件)令mmm等于一个素数;
(初始准备)将输入kkk写成r+1r+1r+1个数字：k=k=k=，其中ki∈{0,1,...,m−1}k_i\in\{0, 1, ..., m-1\}ki∈{0,1,...,m−1}(等价于将kkk用mmm进制表示);
(随机)随机选择一个a=a=a=，其中ai∈0,1,...,m−1a_i\in{0, 1,..., m-1}ai∈0,1,...,m−1;
(hash函数)ha(k)=(∑i=0i=rai×ki)mod mh_a(k)=(\sum_{i=0}^{i=r}a_i\times k_i) \mod mha(k)=(∑i=0i=rai×ki)modm.
证明见2。
4-python实现
自己写的代码，如有错误望指正。代码链接：https://github.com/VFVrPQ/LDP/blob/master/Components/UniversalHashing.py，另有完整代码如下：
import math
import random
class UniversalHashing:
'''
g: a prime
d: domain, [0, 1, ..., d-1]
len: The maximum number of digits in g Base
v: an input value in [0, 1, ..., d-1]
hash function: H_a(k) = (a(0)*k(0)+a(1)*k(1)+...+a(len-1)*k(len-1)) % g
'''
def __init__(self, g, d):
self.__g = g
assert g>=2, 'g is less than 2'
assert self.__isPrime(g), 'g is not a prime'
self.__d = d
self.__len = math.ceil( math.log(d) / math.log(g)) # g进制下，最大的位数
self.__a = self.__len*[0] # initial length
# v is an input value in [0, 1, ..., d-1]
def hash(self, v):
self.__randomness() # regenerate a, select H
out = self.calc(self.__a, v)
return self.__a, out
# calc H_a(k) = (a(0)*k(0)+a(1)*k(1)+...+a(len-1)*k(len-1)) % g
def calc(self, a, v):
assert len(a)==self.__len, 'len(a)!=self.__len'
k = self.__toBitList(v)
out = 0郑州人流手术多少钱 http://mobile.sgyy029.com/
for i in range(self.__len):
out = (out + a[i]*k[i]) % self.__g
return out
def __randomness(self):
# generate a
for i in range(self.__len):
self.__a[i] = random.randint(0, self.__g-1)
def __toBitList(self, v):
assert v>=0, 'v<0'
if v == 0:
return self.__len * [0]
bitList = self.__len * [0]
for i in range(self.__len):
bitList[i] = v%self.__g
v = int(v/self.__g)
return bitList
def __isPrime(self, v):
if v<=1:
return False
for i in range(2, int(math.sqrt(v))+1, 1):
if v%i==0:
return False
return True
# for test
if __name__ == "__main__":
TIMES = 10
g = 29 # prime
d = 16 # domain
uhash = UniversalHashing(g, d)
H = g * [0]
for i in range(TIMES): # random TIMES to verify
x = random.randint(0, d-1)
_, out = uhash.hash(x)
H[out] += 1
for i in range(g):
print(i, H[i])