全域哈希原理与实现

  1-hash哈希介绍

  2-Universal hashing全域哈希法

  3-构造一个全域哈希H\mathcal{H}H

  4-python实现

  1-hash哈希介绍

  hash函数y=h(k)y=h(k)y=h(k),把任意长度的输入kkk通过散列算法hhh变换成固定长度的输出yyy,该输出就是散列值1。一种常见的hash函数是y=H(k)=(a⋅k+b)mod  my=H(k)=(a\cdot k+b) \mod my=H(k)=(a⋅k+b)modm,mmm一般取素数。

  设hash函数的定义域为KKK,值域为YYY,一般来说,∣K∣>∣Y∣|K|>|Y|∣K∣>∣Y∣,这样hash函数容易出现碰撞,如下图,h(k5)=h(k2)=h(k7)h(k_5)=h(k_2)=h(k_7)h(k5)=h(k2)=h(k7),k5,k2,k7k_5,k_2,k_7k5,k2,k7在一条链上(碰撞):

  对于hash函数,基本上都能找到一组输入,使得它们的hash值都相同,导致它们在一条链上,有时甚至会比线性查找的复杂度还要高,因为比线性查找多了hash的时间。

  2-Universal hashing全域哈希法

  思路:解决上述问题的一种方法就是随机。随机从一组hash函数(a family of hash functions)中选择一个。这样选的话,对方就没办法针对特定的hash函数构造一组输入,使得hash函数效率很低。

  定义1:U\mathcal{U}U是定义域,H\mathcal{H}H是hash函数的集合,能够将U\mathcal{U}U映射到{0,1,...,m−1}\{0, 1, ..., m-1\}{0,1,...,m−1},即h:U→{0,1,...,m−1},h∈Hh:\mathcal{U}\rightarrow\{0, 1, ..., m-1\}, h\in \mathcal{H}h:U→{0,1,...,m−1},h∈H.

  定义2:如果∀x,y\forall x, y∀x,y满足x≠yx\neq yx=y并且∣{h∈H:h(x)=h(y)}∣=∣H∣m|\{h\in \mathcal{H}:h(x)=h(y)\}|=\frac{|\mathcal{H}|}{m}∣{h∈H:h(x)=h(y)}∣=m∣H∣,则称H\mathcal{H}H是全域(universal)的。

  根据定义2,如果h是随机均匀地从H\mathcal{H}H中选择(注意每个输入要重新选择一个hash函数), 那么xxx和yyy碰撞的概率是:

  h(x)=h(y)的函数数量所有的函数=∣H∣m∣H∣=1m.\frac{h(x)=h(y)的函数数量}{所有的函数}

  =\frac{\frac{|\mathcal{H}|}{m}}{|\mathcal{H}|}=\frac{1}{m}.所有的函数h(x)=h(y)的函数数量=∣H∣m∣H∣=m1.

  定理1:随机均匀地从H\mathcal{H}H(H\mathcal{H}H是全域的)选择hhh,如果我们现在已经把nnn个输入放入了hash表TTT中了,则再给一个输入xxx,有

  E[hash表T中元素和x碰撞的数量]

  其中E[⋅]E[\cdot]E[⋅]表示期望。

  [定理1的重要性] 通过证明上述定理,我们就可以说,如果存在H\mathcal{H}H是全域的,那么最终在hash表TTT中元素的分布(在平均意义上)是均匀的。

  定理1的证明. 设CxC_{x}Cx表示在hash表TTT中的随机元素和xxx碰撞的数量,设

  Cxy={1if h(x)=h(y)0if h(x)≠h(y)C_{xy}=\left\{\begin{array}{cr}

  1 & if\ h(x)=h(y) \\

  0 & if\ h(x)\neq h(y)

  \end{array}\right.Cxy={10if h(x)=h(y)if h(x)=h(y)

  那么,

  E[Cx]=E[∑y∈T−xCxy]=∑y∈T−xE[Cxy]因为期望的线性性质=∑y∈T−x1m=(n−1)1m

  E[C_x]&=E[\sum_{y\in T-x}C_{xy}] \\

  &=\sum_{y\in T-x}E[C_{xy}] & 因为期望的线性性质\\

  &=\sum_{y\in T-x}\frac{1}{m} \\

  &=(n-1)\frac{1}{m} \\

  &<\frac{n}{m}.

  \end{array}E[Cx]=E[∑y∈T−xCxy]=∑y∈T−xE[Cxy]=∑y∈T−xm1=(n−1)m1

  例子 :如果n=1,m=2n=1,m=2n=1,m=2,则E[Cx]<12.E[C_x]<\frac{1}{2}.E[Cx]<21.

  3-构造一个全域哈希H\mathcal{H}H

  定理2: 按照如下四个步骤构造的H\mathcal{H}H是全域的:

  (条件)令mmm等于一个素数;

  (初始准备)将输入kkk写成r+1r+1r+1个数字:k=k=k=,其中ki∈{0,1,...,m−1}k_i\in\{0, 1, ..., m-1\}ki∈{0,1,...,m−1}(等价于将kkk用mmm进制表示);

  (随机)随机选择一个a=a=a=,其中ai∈0,1,...,m−1a_i\in{0, 1,..., m-1}ai∈0,1,...,m−1;

  (hash函数)ha(k)=(∑i=0i=rai×ki)mod  mh_a(k)=(\sum_{i=0}^{i=r}a_i\times k_i) \mod mha(k)=(∑i=0i=rai×ki)modm.

  证明见2。

  4-python实现

  自己写的代码,如有错误望指正。代码链接:https://github.com/VFVrPQ/LDP/blob/master/Components/UniversalHashing.py,另有完整代码如下:

  import math

  import random

  class UniversalHashing:

  '''

  g: a prime

  d: domain, [0, 1, ..., d-1]

  len: The maximum number of digits in g Base

  v: an input value in [0, 1, ..., d-1]

  hash function: H_a(k) = (a(0)*k(0)+a(1)*k(1)+...+a(len-1)*k(len-1)) % g

  '''

  def __init__(self, g, d):

  self.__g = g

  assert g>=2, 'g is less than 2'

  assert self.__isPrime(g), 'g is not a prime'

  self.__d = d

  self.__len = math.ceil( math.log(d) / math.log(g)) # g进制下,最大的位数

  self.__a = self.__len*[0] # initial length

  # v is an input value in [0, 1, ..., d-1]

  def hash(self, v):

  self.__randomness() # regenerate a, select H

  out = self.calc(self.__a, v)

  return self.__a, out

  # calc H_a(k) = (a(0)*k(0)+a(1)*k(1)+...+a(len-1)*k(len-1)) % g

  def calc(self, a, v):

  assert len(a)==self.__len, 'len(a)!=self.__len'

  k = self.__toBitList(v)

  out = 0郑州人流手术多少钱 http://mobile.sgyy029.com/

  for i in range(self.__len):

  out = (out + a[i]*k[i]) % self.__g

  return out

  def __randomness(self):

  # generate a

  for i in range(self.__len):

  self.__a[i] = random.randint(0, self.__g-1)

  def __toBitList(self, v):

  assert v>=0, 'v<0'

  if v == 0:

  return self.__len * [0]

  bitList = self.__len * [0]

  for i in range(self.__len):

  bitList[i] = v%self.__g

  v = int(v/self.__g)

  return bitList

  def __isPrime(self, v):

  if v<=1:

  return False

  for i in range(2, int(math.sqrt(v))+1, 1):

  if v%i==0:

  return False

  return True

  # for test

  if __name__ == "__main__":

  TIMES = 10

  g = 29 # prime

  d = 16 # domain

  uhash = UniversalHashing(g, d)

  H = g * [0]

  for i in range(TIMES): # random TIMES to verify

  x = random.randint(0, d-1)

  _, out = uhash.hash(x)

  H[out] += 1

  for i in range(g):

  print(i, H[i])