for循环的使用和优化：解整数不定方程

定性分析

这个方程的整数解怎么得到？参考视频

方程:

函数f1、f2和f3：

f1和f2的导数，也就是曲线f的斜率， 理论上f2的斜率是比f1越来越陡峭，f1和f2只有有限的几个交点。

方程的整数解是曲线f1和f2的交点。 由于f1画图不方便, 可以从f2和f3的形态推知f1和f2只有有限的交点。因为f3只是f1的平移。 f2和f3的图像示意如下， 明显只有有限个交点。

ps: x是对称的，所以如果有整数解x则-x也是其解。下面讨论都是基于x为正整数。

大力出奇迹

思路

不管三七二十一，x和y都从0开始，按照自然数递增的方式去试探。

两层循环，外层是x， 内层是y。然后尝试计算f1和f2， 如果f1 == f2 就打印结果，终止循环。

不过这里可做一点点局部优化，就是x^2+615=2^y  >=615 可以推出y>9。外层循环x 从0开始，内存循环可以从10开始。

代码

equation.cpp

#include  #include  using namespace std; int main(int argc, char* argv[]) {     if (argc < 3) return -1;     long n = atol(argv[1]);     long m = atol(argv[2]);     bool flag = false; //找到解的标志，找到为true未找到为false     for (long x = 0; x < n && !flag; x++) //x没到循环上限值且未找到解的就继续     {        for (long y = 10 ; y < m; y++)        {           long long f1 = 615 + pow(x, 2);           long long f2 = pow(2, y);           if (f1 == f2) //找到，打印解           {               flag = true;               cout << "(x, y)" << ":" << "(" << x << "," << y << ")" << endl;               cout << "(x, y)" << ":" << "(" << -x << "," << y << ")" << endl;//共轭解               break;           }        }     }     return 0; } 复制代码

代码解读

n 和 m是通过命令输入，来控制x和y的上限的。

flag 为找到解的标志。

外层循环的终止条件是表示式 x < n && !flag 的值为false。

这个解法非常自然，基本属于大力出奇迹的范围。

执行结果

局部优化

思路

• 减少外层循环次数。

• 参考视频，推断x的形式为6k+1或6k-1 ，k为整数

代码

#include  #include  using namespace std; int main(int argc, char* argv[]) {     if (argc < 3) return -1;     long n = atol(argv[1]);     long m = atol(argv[2]);     bool flag = false;     for (long k = 1; k < n && !flag; k++)     {        for (long y = 10 ; y < m; y++)        {           long long f1 = 615 + pow(6*k - 1, 2);           long long f2 = pow(2, y);           if (f1 == f2)           {               flag = true;               cout << "(x, y)" << ":" << "(" << 6*k - 1 << "," << y << ")" << endl;               cout << "(x, y)" << ":" << "(" << -(6*k -1) << "," << y << ")" << endl;               break;           }           f2 =  615 + pow(6*k + 1, 2);           if (f1 == f2)            {               flag = false;               cout << "(x, y)" << ":" << "(" << 6*k + 1 << "," << y << ")" << endl;               cout << "(x, y)" << ":" << "(" << -(6*k + 1) << "," << y << ")" << endl;               break;           }        }     }     return 0; } 复制代码

代码解读

n 和 m是通过命令输入，来控制x和y的上限的。

flag 为找到解的标志。

外层循环的终止条件是表示式 k < n && !flag 的值为false。

这个解法跟大力出奇迹思路一样，只是先做了一点简单的推断，判定出x的形式，相比方法一，可以少67%的循环次数。

执行结果

全局优化

思路

• 去掉一层循环。 我们可以先计算2^y 的结果，根据方程去推出算出x的值: x = sqrt(2^y - 615)。 x取整后，在根据取整的结果去计算 [x]^2 + 615是否跟2^y值相等。这里[x]表示对x取整。

• 去掉pow调用，只改用一次sqrt。计算2^y的时候， 可以根据外层循环的次数来累乘2得出。

• y肯定大于9, 不必做无谓的计算，所以从10开始。

代码

 #include  #include  using namespace std; int main(int argc, char* argv[]) {     if (argc < 2) return -1;     long n = atol(argv[1]);     long long p = 512; //2^9 == 512     for (long y = 10; y < n; y++)     {         p *= 2;         long x = sqrt(p - 615);         if (x *x + 615 == p) //判断x确实是整数且满足方程         {             cout << "(x, y) = " << "(" << x << "," << y << ")" << endl;             cout << "(x, y) = " << "(" << -x << "," << y << ")" << endl;         }         break；     }              return 0; } ### 代码解读 p 存储2^y 值，倒推x值， 取整后计算x^2 + 615，是否跟2^y相等。 本方法也不需要flag这种标志了，因为只有一层循环，直接break即可终止。 ### 执行结果 复制代码

代码解读

减少一层循环，在循环内只有一次sqrt调用。理论上，应该比方法一和方法二都要高效。

执行结果

总结

三个方法中，显然方法三是比较优的方法。

本案例提升效率的方法：

• 局部优化，譬如从数学角度先做优化

• 全局优化，不但要从数学角度，而且逆向思维，从y出发导出x，再从x去验算y。

• 避免都充循环

• 在循环中尽量少用函数调用，可以多采用简答的加法和乘法。

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