偏导数指的是因变量对于某一个自变量的变化率,可以看做是将其他自变量视作常数后,对这个一元函数求导,也就是图像在在某一平面上的变化率(这个平面是其他自变量为常数截出来的),通过梯度这个概念,我们能够展现出函数值随着每一个自变量的变化率,可以看到多元函数沿着某一方向的变化速率。

全微分可以理解为一元函数中微分的推广,意义也有相近的地方。在微积分发展的早期,函数的微分被视作是一个微小的增量,数学家们引入了无穷小的概念却不能在逻辑上达到完满的状态。在极限理论中,我们舍弃了无穷小或者说增量的概念,微分在极限理论下,实际上是一个函数,它是可微函数线性主要部分的近似。也即是每一个自变量的该变量趋于0时,函数值改变量的线性主要部分(也是最低阶的无穷小)。

函数可偏导指的是对于任意自变量均可偏导,这是可微的必要条件,但是如果偏导数连续,我们就可以得到函数必然可微的结论,这是可微的充分非必要条件。