冲激函数与傅里叶变换

 

傅里叶变换是信号分析的基本工具，利用几条已知的变换结果和一系列性质，其值并不难求；但要是追问公式里的复指数和积分是怎么来的，想给出一个直观的解释恐怕就没那么简单了。我一直在寻找理解变换公式的简单方法，然而结果要么是教科书里冗长的推导，要么就是完全图形化，不涉及公式本身的解释。直到最近电分课和我在看的一本无线通信的书都讲到了冲激函数(δ函数)，我才感到对公式的理解稍微更进了一步，所以赶紧把一些零散的想法记录梳理一下。

1. 对二元函数的理解

一般理解二元函数的含义时，采取的解释是函数值同时受两个自变量变化的影响。但是也可以以另一种观点来看：二元函数表示的是一种数到函数的映射，而一元函数则是数到数的映射——这有一点泛函的味道。再用直白的比喻来描述的话，可以将二元函数f(x,y)比作是产生函数的机器，通过设定自变量x来产生一个特定的，自变量是y的一元函数。以电子学中常见的正弦信号复数表示举例，f(ω,t)=e ^jωt是自变量为w,t的二元复变函数。通过指定一个角频率ω ₀，f就变为一个表示角频率为ω ₀的一元函数f'(t)=e ^jω₀t。（注意这里说的复数表示和下文中不一样，这里的复指数是电子学里应用于广义欧姆定律的表示法，实际值需要取实部。）

1. 三角函数的复指数表示

这节没什么好说的，纯属是正题的前置内容，了解的可以跳过。通过欧拉公式Ae ^jωt=Acos(ωt)+Aj sin(ωt)易得Acos(ωt)=A/2 e ^jωt+A/2 e ^-jωt（sin的表示就先略过，有兴趣自己推）。

1. 冲激函数和取样性质

这节也是前置知识。单位冲激函数可以理解为一个积分为1，中心在x=0，宽度无穷小的脉冲。冲激函数最重要的一条性质是取样性质，也即冲激函数δ(x-x ₀)与任一函数f(x)的乘积δ(x-x ₀)f(x)在x=-∞到x=+∞上的积分的值等于f(x ₀)。直白地说即中心在x ₀上的单位冲激函数和f(x)相乘再对x积分后即得到f(x)在x ₀处的值。取样性质的证明很好理解也很容易找到，这里略过。

1. 傅里叶反变换：怎么产生期望的三角函数？

先说傅里叶反变换是因为其结果是时域上的三角函数（或其叠加），我们相对熟悉很多。考虑频域上的两个冲激函数的叠加s(ω)=δ(ω-ω ₀)+δ(ω+ω ₀)（也即中心在±ω ₀处，相对y轴对称的两个单位冲激函数），如果已知这是一个时域上的余弦函数f(t)=2cos(ω ₀t)的傅里叶变换，采取什么样的操作才能把这一函数s变回原来的函数f？傅里叶反变换说，将函数s与e ^jωt相乘，再在ω=-∞到ω=+∞上积分即可得到f。利用取样性质，我们马上意识到，这实际上就是取e ^jωt在ω=±ω ₀的值。但是取一个二元函数在一个自变量确定时的值是什么意思？回想第一节的内容，这实际上是产生了两个一元函数e ^±jω₀t。再结合第二节的公式，马上得到这两个函数的和e ^jω₀t+e ^-jω₀t正是f(t)=2cos(ω ₀t)。 从第二节的角度再次理解傅里叶反变换实际上在做什么。当指定ω时，e ^jωt就变成了一个产生某个特定版本的e ^jω₀t的“机器”。现在的问题是，通过何种操作，可以让这个“机器”产生的函数，正好可以表示某一特定频率ω ₀的余弦函数？现在我们知道了，这一操作是与两个中心在±ω ₀处的冲激函数相乘再积分。

1. 傅里叶变换：怎么产生期望的频谱？

有了傅里叶反变换的经验，我们终于可以回到傅里叶变换上了。 回想傅里叶反变换，我们通过频谱“定制”了“机器”e ^jωt的输出，使其产生期望的三角函数。现在我们希望通过三角函数“定制”另一种“机器”，使其产生频谱。傅里叶变换说，这台“机器”是e ^-jωt，比反变换的那台在指数上多了个负号。现在将ω ₀设为0，考虑f(t)=2cos(ω ₀t)，也即e ^jω₀t+e ^-jω₀t和e ^-jωt的乘积。我们发现f的值变为了一常数2，该乘积结果为2e ^-jωt。我们暂时无法计算这一函数在t=-∞到t=+∞上的（奇异）积分，但根据傅里叶反变换，可以预见到，该积分的结果一定是一个中心在ω=0处，积分为2的冲激函数。而当ω ₀不为零时，上述乘积变为e ^j(ω+ω₀)t+e ^j(ω₀-ω)t，可以想到其图像是两个单位冲激函数分别向正负平移ω ₀后的叠加。

1. 为什么是-jωt

无疑上一节的解释多少还是有让人觉得牵强的地方：我们没有直接推导冲激函数是怎么由复指数函数积分来的，更没有像第四节里那样把指数jωt和结果联系起来，所以我们要问，为什么傅里叶变换中e的指数是-jωt？换一种思路来看傅里叶反变换，函数s可以看成一种“权”，而整个反变换可以看成是将一系列ω不同的e ^jωt加权（相乘）再累加（积分）。如果希望还原这一操作的结果，得到权函数s本身，就需要将刚才乘上的e ^jωt消去——也就是乘上其倒数e ^-jωt。