矩阵知识备忘录

线性代数总结

线性代数知识学的时候不以为然，甚至觉得无非就是在一个框框里算算术而已没意思。现在慢慢领悟线性代数，尤其是矩阵的性质实在是太！重！要！了！本文专门对基本常用概念做记录，并且随着遇到新矩阵问题不断更新。

行列式总结:

• 行列式一定是正方形的；
• 对换行列式的两行，行列式结果要变号；
• 代数余子式：在n阶行列式中，把(i,j)元所在的第i行和第j列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做的"余子式"，记做(就是原行列式简单的划掉一行和一列后剩下的东西)。元的"代数余子式"记为。代数余子式和余子式之间的关系为：

矩阵总结

（1）基本内容：

• 矩阵很多特殊操作，尤其是牵扯到相应行列式时，这个矩阵都是正方形的；
• 矩阵A的伴随矩阵：矩阵A的各个元素位置由元素对应的代数余子式代替，并做一次转置后得到：

• 矩阵可逆判断(充要条件1)：；可逆矩阵 = 非奇异矩阵；逆矩阵求法：

• 克拉默法则：n个方程n个未知数的正方形方程组，如果正方形系数矩阵A的行列式值不为0，即，则该方程组有唯一解！

• 解线性方程组矩阵的3种初等变换：1. 对换两行；2. 某行元素整体乘个系数k；3. 把做完2步的那一行加到另一行去。初等变换不改变方程的解！！即始终同解。与行列式变换不同！！

• 矩阵可逆判断(充要条件2)：矩阵A经过有限次初等变换后，可以变成单位矩阵E；

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（2）矩阵与线性方程组：

• 对应线性方程组：，右端矩阵b不为0是"非齐次线性方程组"，为0就是"齐次线性方程组"。系数矩阵A可以是正方形也可以是长方形。

• 矩阵A(任意形状)的子式：在mxn矩阵A中，任取k行k列(k≤m, k≤n)，位于这些行列交叉处的个元素，不改变它们在A中所处的相对位置而得到k阶行列式，称为矩阵A的k阶(主)子式。注意：子式是一个行列式，也就是说它是一个具体的数值；

• 矩阵(主)子式与顺序主子式：主子式/子式就是上面说的，取的行和列是没有规律、随便取的；顺序主子式：必须是从左上角往右下角取这样变化：

图1：各阶顺序主子式

• 矩阵A(任意形状)的秩：矩阵A的最高阶非0子式所对应的阶数r，就是矩阵A的秩。秩可记做：；范围是：；

• 秩的深刻意义：

  • 矩阵A(任意形状)的初等变换、转置不会改变矩阵的秩；
  • 矩阵A做初等变换后得到的行阶梯矩阵，矩阵A的秩 = 行阶梯矩阵非0行的行数！一般就是用行阶梯来求秩的；

• 秩在n元解线性方程组中的意义：不论正方形还是长方形方程组，都可以用"秩"来判断方程解的情况：

注意一点：长方形矩阵因为"方程个数"和"未知数个数"不相同，所以会导致上面3种解的情况出现。

• 矩阵可逆判断(充要条件3)：可逆矩阵的秩 = 阶数，即为"满秩矩阵"；

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（3）特殊矩阵类：都是方阵

• 正交矩阵(n阶方阵)：如果n阶方阵A满足下面式子，则称方阵A为正交矩阵：

• 正交矩阵的2条性质：

  • 若A为正交阵，则和都是正交矩阵(其实两者相等)！并且正交矩阵的行列式为1，即；
  • 两个正交阵相乘，还是正交阵；

• 方阵特征值：设A为n阶方阵，如果数和n行非0列向量x满足如下关系式，则称数为矩阵A的一个"特征值(可以是复数结果)"，此时的列向量x称为A对应特征值的"特征向量"：

要想求解"特征值"，就是求：这个1元n次方程；

• 方阵特征值的3条性质：

  • 所有特征值之和 = 矩阵A对角元素之和；
  • 所有特征值乘积 = 矩阵A行列式的值；
  • 若是矩阵的特征值，则是特征值，是特征值；

• 矩阵可逆判断(充要条件4)：n个特征值全 ≠ 0；

• 相似矩阵(2个n阶方阵)：设、都是n阶方阵，若有可逆矩阵P，使得和满足如下关系，则称矩阵与相似！可逆称为把变成的"相似变换矩阵"：

• 相似矩阵的2条性质：

  • 若与相似，则二者特征值相同；
  • 矩阵的n个特征值做对角元素的对角阵，若想满足，即矩阵可以对角化(与对角阵近似)，必须满足：矩阵的n个特征值互不相同；

• 实对称矩阵性质：

  • 一定可以对角化，对角阵元素为n个互不相等的特征值；
  • 为n阶方阵，则下面3个都是对称阵：

• 正定阵：特征值全为正的对称阵；或：各阶"顺序主子式"都>0的对称阵；

• 正定矩阵3条性质：

  • (对称)正定阵特征值都是正数；
  • (对称)正定阵主元都是正数；
  • ；

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（4）矩阵杂项类：

• 对角阵、上三角阵、下三角阵，行列式值都是对角元素乘积；
• 严格对角占优矩阵：每一行中对角元素的值的模 > 其余元素值的模之和！即：

• 弱对角占优矩阵：上面公式取号；

• 严格对角占优矩阵的4条性质：

  • 若系数矩阵A是严格对角占优矩阵，则关于它的线性代数方程组有解；
  • 若系数矩阵A为严格对角占优矩阵，则A为非奇异矩阵；
  • 若系数矩阵A为严格对角占优矩阵，各阶顺序主子式必不为0；
  • 若系数矩阵A为严格对角占优矩阵，雅克比迭代法、高斯-赛德尔迭代法和0<ω≤1的超松弛迭代法均收敛。

• 共轭/Hermite矩阵：如果，则称矩阵为"对称矩阵"；如果，则称矩阵为"共轭/Hermite矩阵"。可以看出两者其实差别不大：实数域对称矩阵与共轭矩阵是一回事。

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第1次补充：

• 对于线性方程组做行间和列间对换时，要保证同解：
  • 行之间对换：b要随着一起变动，x不用动；
  • 列之间对换：x要随之一起变动(例：A中2和3列互换, x中2和3行要一起变)，b不用动。变完后的解x，顺序与原方程是不一致的，要记得调换一下！