芝诺悖论今昔谈
爱利亚的芝诺为了捍卫他老师巴门尼德关于“存在”不动、是一的学说，提出了著名的运动悖论和多悖论，以表明运动和多是不可能的。他的结论在常人看来当然很荒谬，但他居然给出了乍看起来颇令人信服的论证，故人们常常称这些论证构成了悖论或佯谬。不过，若细细推敲，其结论未必荒谬，其论证未必令人信服，故中性的称这些论证为芝诺论辨（Argument）最为合适。
一、历史追溯
芝诺的运动论辨全部得自亚里士多德在《物理学》中的转述，有四个：
1、二分法。物体在到达目的地之前必须先到达全程的一半，这个要求可以无限的进行下去，所以，如果它起动了，它永远到不了终点，或者，它根本起动不了。
2、阿喀琉斯（一译阿基里斯）。快跑者永远赶不上慢跑者，因为追赶者必须首先跑到被追者的出发点，而当它到达被追者的出发点，又有新的出发点在等着它，有无限个这样的出发点。
3、飞矢不动。任何东西占据一个与自身相等的处所时是静止的，飞着的箭在任何一个瞬间总是占据与自身相等的处所，所以也是静止的。
4、运动场。两列物体Ｂ、Ｃ相对于一列静止物体Ａ相向运动，Ｂ越过Ａ的数目是越过Ｃ的一半，所以一半时间等于一倍时间。
四个论辨可分成两组，前两个假定时空是连续的，后两个假定时空是分立的，每组的第一个论证绝对运动不可能，第二个论证相对运动不可能。
关于多的论辨得自辛普里丘在《〈物理学〉注释》的转述，大意是：如果事物是多，那么大会大到无限大，小会小到零，因为任何数量都可以无限分割，若分割的结果等于零，则总和是零，若分割结果不是零，则无限总和是无限大。
以上转述从哲学史角度看都过于粗疏，不过对于讨论其哲学含义则差不多够了。
１９、２０世纪之交的绝对唯心主义者象布拉德雷（Ｂｒａｄｌｅｙ，Ｆ．Ｈ）全盘接受芝诺的论证和结论。他视运动、时间空间为幻象，芝诺论辩正好符合他的主张，当然全盘接受。在《现象与实在》中他写道：“时间与空间一样，已被最明显不过的证明为不是实在，而是一个矛盾的假象。”除布拉德雷之外，哲学史上大部分哲学家认为芝诺的结论是荒谬的，其论证有问题。不过，在不断检查其论证毛病的过程中，人们反倒发现了芝诺论辨的深刻之处。常常是人们自以为解决了芝诺悖论，不多久就又发现其实并没有解决。
已知最早的批评来自亚里士多德。关于二分法，他说，虽然不可能在有限的时间越过无限的点，但若把时间在结构上看成与空间完全一样，也可以无限分割，那么在无限的时间点中越过无限的空间点是可能的；关于阿喀琉斯，他说，如慢者永远领先当然无法追上，但若允许越过一个距离，那就可以追上了；关于飞矢不动，他说，这个论证的前提是时间的不连续性，若不承认这个前提，其结论也就不再成立了；关于运动场，他说，相对于运动物体与相对于静止物体的速度当然是不一样的，越过同样距离所花的时间当然也不一样。亚氏批评的意义主要在于使芝诺论辨显得更为明了，前面对诸论辨的转述就显然参照了亚里士多德的这些批评。
黑格尔对芝诺悖论的解决是：“运动的意思是说：在这个地点又不在这个地点；这就是空间和时间的连续性，──并且这才是使得运动可能的条件。”这个解决方法要点在于强调时间空间的连续性，而且对连续性赋与新的、特有的解释。不过，它似乎并没有直接针对芝诺论辨本身来提出批评，而且关于连续性的独特解释与数学和逻辑所要求的精确性不相容。受黑格尔的影响，我国哲学界一般认为芝诺不懂得连续性和间断性的辩证关系，把这两者机械的对立起来，所以造成运动悖论。这大意是说，芝诺的论证没使用辩证逻辑，因而是无效的。这种批评同样是笼而统之，不关痛痒。
二、分析与分析的困境
１９世纪以来，从数学的、逻辑的角度提出的解决方案较多，我统称为分析的方法。
- 无穷级数的求和
在芝诺的运动悖论和多悖论中都涉及到无限分割后的求和问题，微积分的发展使得对此进行定量分析成为可能。对于多悖论而言，可以肯定的说，无穷分割后的各部分趋于零但不等于零，其总和不等于零，但也不会是一个无限量。
对于阿喀琉斯而言，他虽然要无数次的到达某个起始点，但它所走的空间距离并不是一个无限量，追龟情形下的空间距离是：
（其中ｄ是初始距离，
分别是快者和慢者的速度）
是一个有限数，对于有限的距离，当然可以在有限的时间内穿过并达到终点。
2、无限机器问题
许多人在算出了无穷级数之和是一个有限数之后，就以为解决了芝诺的阿喀琉斯悖论，他们很显然是认为悖论之悖在于把经历无限之点与经历无限之距离混为一谈，只要澄清了这一点，悖论就自然消除了。
然而，算出了距离是有限的并未解决问题。让我们来考察一下我们是怎么算出来的。无穷级数的求和最终要用求极限的方法，求极限是什么意思呢？并不是说我们一项一项的将无穷级数的所有项全部加在一起正好就等于这个极限值，而是说，我们可以让无穷级数的和充分接近这个极限值，想多接近就多接近。注意，依然是“接近”。在初等数学中我们还有一个更为简便的方法求出追上乌龟的时间，那就是假定它是ｔ，可以列出方程：
解方程可得
在这个方法中，有一个前提，那就是假定阿喀琉斯最终追上了乌龟。这个假定说明，数学所告诉我们的不过是，如果能的话，需要多少时间，但数学不解决“是否能”的问题。
因此，还需要回到“在有限时间里越过无限的点”问题上来，如果把越过一个点看成完成了一个动作，此问题就推而广之变成了一个无限操作问题，有人将之命名为“无限机器”（infinite machine），也有人将之称作“超级任务”（super task）。许多人已经证明了，超级任务是不可能完成的，无限机器不存在。
最有名的无限机器是抛球机器，它是这样设计的：一小球从ａ处开始向ｂ处抛动，令小球从ａ处抛到ｂ处时花二分之一分钟，从ｂ抛回ａ处花四分之一分钟，依此类推，来回抛球时间依次是：
到第ｎ次时所花全部时间是：
现在要求机器在时间到达１分钟时停下来。可是问题出现了，人们发现无法确定小球最终落在何处。从上式看，当ｎ取奇数时，落在ｂ处，取偶数时落在ａ处，可是小球越抛越快，只有在经过无限次之后才会到达１分钟，但一个无限数是没有奇偶之分的，因此，搞不清１分钟的时候小球处在什么位置，也就是说，小球没有终点，超级任务无法完成。
的确，由于一个无穷序列没有最后一项，所以让阿喀琉斯穿过所有芝诺给出的（无限个）点到达终点是不可能的。
与此类似，无限机器问题的不可解，也强化了二分法的有效性。对芝诺论辨的逻辑分析相反加强了其论辨的力量。
3、飞矢与速度问题
如果我们假定，运动物体在每一瞬间都处在一个空间位置（这一点表面看来很显然，但不必然真），那么，判定它在这一瞬间是运动还是静止，唯一的办法是看它有没有速度。孤立的考察这一点无法得知它是否有速度，必须考虑一个区间，速度公式是：
其中
是轨迹矢量的微分。
这里要求轨迹起码是连续的，但芝诺在这里很显然假定了相反的条件，即轨迹是不连续的，不连续的轨迹无法求微分，无法判定其速度。
不过，即使轨迹是连续的，求出了速度，也还是没有解决运动本身的问题，因为得出了速度的大小，只意味着如果有运动数学可以告诉我们速度是多大，数学同样不告诉我们是否有运动。
总的来讲，如果说运动物体在每一瞬间都处在一个位置，那么在这一瞬间，我们的确无法知道它是否是运动的，特别是当时间和空间不连续时。
4、运动场与时空的不连续结构
芝诺关于运动场的论辨从文本方面尚未完全搞清，亚里士多德的转述让人觉得该论辨过于没有深度，难道芝诺连相对于静止物体的运动与相对于运动物体的运动是不一样的这点都不懂吗？比较合乎情理的解释是，芝诺想通过三列物体在分立的时空结构中的运动揭示运动是不可能的，要害在时空的分立结构上。
假定在时刻1时，三列物体排列如下：
甲甲甲甲
乙乙乙乙
丙丙丙丙
其中每个物体占据一个空间单元。过一个时间单元后是时刻2，再后是时刻3，等等，时刻2和时刻3时的排列分别是：
甲甲甲甲 甲甲甲甲
乙乙乙乙 乙乙乙乙
丙丙丙丙 丙丙丙丙
芝诺的意思是说，在时刻３时，仅仅过了两个时间单元，乙与丙两列物体之间却有了四个空间单元的位移，在时刻２时，仅仅过了一个时间单元，乙与丙却有了两个空间单元的位移，那对应于一个空间单元的位移的时刻是什么呢，也就是在什么时刻出现下列排列呢？
乙乙乙乙
丙丙丙丙
对这个问题无法回答，所以在时空的分立结构中谈论运动必然要出现一个时间单元等于两个时间单元的问题，也就是芝诺所说的“一倍的时间等于一半的时间”。这当然是荒谬的。
到现在为止，从数学和逻辑角度对芝诺论辨所进行的分析都相反加强了该论辨的力量，现代数学工具只是进一步表述了芝诺所提出的困难。
下面我们来看看对“分析”方法的超越。
三、运动不可分析
希腊时代犬儒学派的创始人第奥根尼对芝诺论辨有一个回答。据说当他的学生向他请教如何反驳芝诺时，他一言不发，在房间里走来走去，学生还是不理解，他说，芝诺说运动不存在，我这不是正在证明他是错的吗？这个故事很长时间被作为一个笑话，人们大多相信，第奥根尼根本没有弄懂芝诺的意思。芝诺并不是说在现象界没有运动这么一回事，他当然承认有，但他要说的是，虽然满目是物体在飞舞，但运动是不合理的，我们可以通过逻辑证明运动是不可能的。因此，我们所看到的运动是假象，并不真实，因为真实的东西一定是合乎逻辑的。
真的可以用逻辑证明运动的不可能性吗？
柏格森说得对，芝诺论辨的全部要害在于用运动轨迹代替运动本身。许多现代分析哲学家进一步指出，芝诺用数学化的运动轨迹代替物理的运动轨迹，就将真实的物理运动导入关于无限的数学迷途之中。
在芝诺论辨中，时间与空间的点结构起了很大的作用。虽然在二分法与阿喀琉斯中时空是密集的点结构，而在飞矢和运动场中时空是分立的点结构。先看密集的点结构所带来的问题。
把时间空间看成连续的，也就是把它看成一个实数连续统。用实数连续统描述时间出现两个问题：第一，任一时刻不存在一个紧随其后以及它所紧随的之前的时刻；第二，任意两时刻之间有无穷多个时刻。这两个特征都与我们的时间经验发生了抵触，若时间真是一个连续统，那之前和之后关系在时间的结构中就找不到依据了，而之前之后关系恰恰是我们时间经验中最重要的因素。把空间当成一个实数连续统也同样存在这个问题。而且，在物理世界中，从没有一个时刻是没有延续性的，从没有一个物体是没有广延的。数学结构显见要与物理结构区分开来。
时空的分立点结构所导致的问题也许是更为深刻的。由于分立结构必然导致一切运动速度均相同的荒谬结论，我们有必要重新审视时空的结构本身。如果时空具有内禀结构，那从逻辑上讲，就完全可能取分立的形式。所谓内禀结构是指与物体运动无关的结构，牛顿的绝对时空就具有内禀结构。“运动场”问题根源于时空有内禀结构这一前提，而这一前提是错误的。现代物理学加强了这样一个观念：时间与空间是事件之间的关系，而不是独立的实体；集合论表明，在假定空间连续的情况下，任何一个线段都具有完全相同的结构，因此长度这个最基本的空间量不是内禀的，而是约定的。 时空的数学点结构所带来的问题也许可以解决，但即使这些问题都解决了，运动的可能性问题是否就随之解决了呢？不然。二分法有两种形式，一种是说，它永远到不了终点，另一种是说，它根本不能起动。第一种形式的无穷序列没有最后一项，所以到不了终点；第二种形式的无穷序列没有第一项，所以根本无法起动。第二种形式最具有启发性，因为若无穷问题得到了很好的解决，第一种形式的因难就可以消除了，但第二种形式的困难还剩下一点：第一推动。如它能有一个初始起动，它可以起动；如它没有一个初始起动，它就不能起动。这是一个同语反复，表明数学分析并不能证明运动是可能的。回想一下柏格森所提出的问题：对运动轨迹的任何分析都不是对运动本身的完全分析，因此在此基础之上既不可能证明运动是不可能的，也不可能证明运动是可能的。“运动”在“证明”之外。
一旦把运动事件看作第一位的，而把时间空间看成对运动事件的抽象，那么飞矢问题就不难解决。飞矢作为一个物理事件在分析时应作为最基本的要素，而不是作为一个被导出的东西，相反，时空的结构应从象飞矢这样的物理事件中导出。飞矢问题完全是由于分析次序的颠倒所造成的。
物理点并不是数学点，阿喀琉斯实际上只用了有限步骤就追上了乌龟。抛弃了芝诺所设置的点结构，阿喀琉斯问题也不再成为问题了。
总结一下由芝诺悖论所引出的哲学结论：运动本身是第一位的，而运动轨迹是第二位的；物理经验是第一位的，而数学描述是第二位的；物理事件是第一位的，而时空结构是第二位的。对运动轨迹的分析引出了数学和逻辑上的许多问题，即使这些问题最终能够解决（现在当然还不能说已经解决），也不意味着最终解决了运动问题本身。运动更为基本而且不可分析，它超出了理论理性。芝诺没能证明运动的不可能性，因为运动根本不可证。（第奥根尼的回答并不可笑，相反很深刻）若说只有可证的才是真实的，那运动的确是“不真实”的。芝诺悖论最终的哲学意义涉及到爱利亚学派对“实在”的看法。