lucas定理，组合数学问题

对于C(n, m) mod p。这里的n，m，p（p为素数）都很大的情况。就不能再用C(n, m) = C(n - 1，m) + C(n - 1, m - 1)的公式递推了。

这里用到Lusac定理

For non-negative integers m and n and a prime p, the following congruence relation holds:

where

and

are the base p expansions of m and n respectively.

 

 对于单独的C(ni, mi) mod p，已知C(n, m) mod p = n!/(m!(n - m)!) mod p。显然除法取模，这里要用到m!(n-m)!的逆元。

根据费马小定理：

已知(a, p) = 1，则 a^p-1 ≡ 1 (mod p),  所以 a*a^p-2 ≡ 1 (mod p)。

也就是 (m!(n-m)!)的逆元为 (m!(n-m)!)^{p-2 ；}

 

代码：

typedef long long LL; using namespace std; LL exp_mod(LL a, LL b, LL p) { LL res = 1; while(b != 0) { if(b&1) res = (res * a) % p; a = (a*a) % p; b >>= 1; } return res; } LL Comb(LL a, LL b, LL p) { if(a < b) return 0; if(a == b) return 1; if(b > a - b) b = a - b; LL ans = 1, ca = 1, cb = 1; for(LL i = 0; i < b; ++i) { ca = (ca * (a - i))%p; cb = (cb * (b - i))%p; } ans = (ca*exp_mod(cb, p - 2, p)) % p; return ans; } LL Lucas(int n, int m, int p) { LL ans = 1; while(n&&m&&ans) { ans = (ans*Comb(n%p, m%p, p)) % p; n /= p; m /= p; } return ans; } int main() { Read(); int n, m, p; while(~scanf("%d%d%d", &n, &m, &p)) { printf("%lld\n", Lucas(n, m, p)); } return 0; }