波兰式、逆波兰式与表达式求值
波兰式、逆波兰式是《数据结构》课程中讲解关于栈的时候提到的，栈是很简单的一种数据结构。但是这些理论的提出却是计算机早期发展领域的重大突破，值得仔细回味。
1. 中缀表达式
我们在数学中学到的表达式被称为中缀表达式，操作符号在操作数中间，比如 2 + 3 * (5 - 1)。对人类而言，这种表达方式显而易见，求值也很直接，先算乘除再算加减，先算括号内再算括号外。
然而，这个表达式对于计算机而言却很费解。你可能会有疑问：这有什么难理解的嘛，在JavaScript、Python或者Ruby，甚至是Java里面都可以通过eval("2 + 3 * (5 - 1)")来计算这个表达式。当然，这里的计算机并不是指现而今强大的计算机和高级编程语言，而是指上个世纪中页还处于发展初期的计算机。
2. 前缀表达式
早在1920年，波兰科学家扬·武卡谢维奇就发明了一种不需要括号的表示法，可以用来表示一个计算表达式。即将操作符号写在操作数之前，也就是前缀表达式，即波兰式（Polish Notation, PN）。这种表达式直到1960年计算机出现后才发挥出其威力。
比如2 + 3 * (5 - 1)这个表达式的前缀表达式为+ 2 * 3 - 5 1来表示。
阅读这个表达式需要从左至右读入表达式，如果一个操作符后面跟着两个操作数时，则计算，然后将结果作为操作数替换这个操作符和两个操作数，重复此步骤，直至所有操作符处理完毕。从左往右依次读取，直到遇到- 5 1，做计算后，将表达式替换为+ 2 * 3 4，然后从左往右再次读取，直到遇到* 3 4，做计算后将表达式替换为+ 2 12，然后从左往右依次读取，读到+ 2 12，计算得到14，到此结束。
可以看到，这种计算过程也相当复杂，需要多次遍历表达式，而且需要识别一个操作符后面跟着两个操作数这种模式，相比而言，下文中的逆波兰式要更为直接和简单。
如果你熟悉各种编程语言的话，这很像Lisp语言中的表达式（如下代码）。需要注意的是，Lisp语言中的括号并不是数学意义上的的括号，Lisp中的函数是可以携带多个参数的，比如(+ 1 2 3)，因此需要使用括号来标明函数参数。
Clojure1.5.1 user=>(+2(*3(-51)))143. 后缀表达式
后缀表达式也称为逆波兰式（Reverse Polish Notation, RPN），更加广为人知一些，和前缀表达式刚好相反，是将操作符号放置于操作数之后，比如2 + 3 * (5 - 1)用逆波兰式来表示则是：2 3 5 1 - * +。
逆波兰式的计算也是从左往右依次读取，当读到操作符时，将之前的两个操作数做计算，然后替换这两个操作数和操作符，接着读取，重复此步骤。对于这个表达式，读到5 1 -，得到4，然后读取乘号，取出前面的3和上一步的计算结果4，并计算，到12，接着读取加号+，计算2 12 +得到14，计算结束。
上面这个步骤可以很容易的用栈来实现：
从左往右依次读取表达式，如果是数字则将该数字压栈，如果是符号，则将之前的两个数字出栈，做计算后，将计算结果压栈，直到表达式读取结束。栈中剩下的一个数就是计算结果。
逆波兰式看起来像波兰式反过来，比如5 + 1的波兰式是+ 5 1，逆波兰式为5 1 +或者1 5 +。也很明显，逆波兰式并不是简单的将波兰式反过来，因为，减法和除法中减数和被减数、除数与被除数是不能交换的，即- 10 5和- 5 10就完全不一样。
4. 中缀表达式到后缀表达式的转换
因为通过后缀表达式来进行计算只需要一个栈即可，从硬件和软件上实现都是极为便利的，因此逆波兰式在计算机领域的应用更加广泛，因此将中缀表达式转换为逆波兰式非常重要。
依然仅仅使用栈就可以将中缀表达式转换成逆波兰式，转换过程如下：
从左往右遍历中缀表达式中的每个数字和符号，弱是数字就输出，成为逆波兰式的一部分； 如果是右括号，或者是其他符号并且比当前栈顶符号的优先级低，则栈顶元素依次出栈并输出； 然后将当前符号进栈，重复以上操作直到结束。
还是以2 + 3 * (5 - 1)为例：
- 首先读入数字
2，直接将其输出，输出为2，栈为空 - 接着读入加号
+，由于栈为空，因此将其进栈，输出为2，栈为+ - 接着读入数字
3，直接将其输出，输出为2 3，栈为+ - 接着读入乘号
*，比栈顶元素优先级高，进栈，输出为2 3，栈为+ * - 读入左括号
(，直接进栈，输出2 3，栈为+ * ( - 读入数字
5，直接将其输出，输出为2 3 5，栈为+ * ( - 读入减号
-，栈顶元素为左括号，进栈，输出为2 3 5，栈为+ * ( - - 读入数字
1，直接将其输出，输出为2 3 5 1，栈为+ * ( - - 读入右括号，依次输出栈顶元素，直到左括号，括号不输出，输出
2 3 5 1 -，栈为+ * - 已经无元素可读，依次输出栈顶元素，直到栈为空，输出
2 3 5 1 - * +，栈为空
这样可以仅仅使用栈，首先将中缀表达式转换为逆波兰式，然后用本文第3节中的方法对后缀表达式进行求值，整个过程使用栈来完成即可。
5. 表达式树与逆波兰式
还可以通过另外一种方法来将一个表达式转换成波兰式和逆波兰式，这种方法依赖与树，首先需要根据表达式构建成树，仍然以2 + 3 * (5 - 1)为例，下图是其表达式树。
我们发现这个树的后序遍历结果为2 3 5 1 - * +，刚好是其逆波兰式；而其先序遍历结果为+ 2 * 3 - 5 1刚好为其波兰式；中序遍历就不用说了，就是我们常见的中缀表达式。我们也可以通过这种特性来实现表达式的各种表示方法的转换。