【Machine Learning·机器学习】决策树之ID3算法(Iterative Dichotomiser 3)

1、什么是决策树

决策树，就是一种把决策节点画成树的辅助决策工具，一种寻找最优方案的画图法。
如下图所示，从左图到右图就是一个简单的，利用决策树，辅助决策的过程。

2、如何构造一棵决策树？

2.1、基本方法

通过对不同特征的优先级区分判断后，优先选择优先级高的特征作为划分的特征。（如上图所示，假设优先级：学历>院校>工作经验。因此我们优先选择了学历作为分类依据，次而选择了院校作为分类依据，最后才选择了项目经验作为分类依据）。

那么，下一个问题来了，我们是怎样判断一个特征的优先级的？具体来说，就是我们在评价一个特征优先级时候的评价标准是什么。这个评价标准，在决策树中非常重要，一个合适评价标准，可以将不同的特征按照非常合理的方式进行优先级排序，从而能够构建出一颗比较完美的决策树。而一个不合适的评价标准则会导致最终构造的决策树出现种种问题。

2.2、评价标准是什么/如何量化评价一个特征的好坏？

在不同的决策树算法中，这个特征好坏的评价标准略有不同。比如，在问哦们今天讲的ID3算法中，评价标准是一个叫做 信息增益(Information Gain) 的东西。而在另一个决策树算法C4.5中，评判标准则进一步变为信息增益比(Information Gain Ration或Gain Ratio)。另外一个比较主流的决策树算法CART算法则是采用 基尼系数(Gini Index) 作为评判标准。这些东西，我们会在后面的几篇文章中一一涉及到，在本文中，我们将关注的重点放在信息增益上。

在进入正题之前，我们需要先了解一些简单的概念。第一个需要我们了解的概念叫做熵/entropy。学过中学物理的朋友们可能会有一些印象：熵，热力学中表征物质状态的参量之一，用符号S表示，其物理意义是体系混乱程度的度量。

熵这个概念最初源自于热力学中，1948年，香农引入了信息熵，将其定义为离散随机事件出现的概率。在信息学里面，熵是对不确定性的度量。 一个系统越是有序，信息熵就越低，反之一个系统越是混乱，它的信息熵就越高。 所以信息熵可以被认为是系统有序化程度的一个度量。其本质与热力学中的熵的概念是相同的。

可这又和我们今天要讲的信息增益这个评判标准有什么关系呢？我们不妨这样想，当我们得到一组信息，一组类似于上图左半部分的信息。该组信息有多个特征(如学历、学校等)，同时有一组综合每一个特征得到的结论。上图展示的这组信息只有A、B、C、D四个实例，倘若我们有成千上万个实例，但看这成千上万实例构成的表格，我们的第一感受可能是混乱。没错，如此多的实例，粗鲁地被凭借在同一个表格中，实在是太混乱了。将混乱换成我们刚刚提到过的说法：这组信息的信息熵太高了。 这样的场景，尤其是当我们想要通过这张表去查询某些东西，更是非常不便。我们希望可以有某种方法，在降低系统混乱程度/降低系统熵值的同时，不损害信息的完整性。那么有没有这么一种方法呢？当然有的，就是我们今天讲到的决策树算法。

从上图的左边，到上图右边的转变，我们可以非常直观感受到，这组信息不仅变得不那么混乱，而且这种树形的表示方式，比较符合我们人类的思维习惯。为什么会出现这样感受上的差异呢？其实很简单，因为我们从右图的根节点开始，每做一次特征的划分，整个系统的熵值就得到了一次降低。 这个信息系统给我们的感受也就越来越规范。进而，我们很容易地引出信息增益地概念：信息增益就是我们以某一个特征划分某个信息系统后，这个系统整体信息熵降的数值。

接下来，我们很容易可以回答如何去判断一个特征的好坏：如果一个特征，相较于其他所有特征，在将一个信息系统按照该特征划分前后，可以将整个数据系统的信息熵降到最低（信息增益最大），这个特征就是一个好的特征。我们应该优先使用该特征进行系统的划分。

2.3、信息熵、信息增益的计算

在此，我们先给出信息熵的计算公式：

知道了信息熵的计算公式后，信息增益的计算公式也很容易理解，就是当前系统的信息熵S，减去按照某个特征划分整个系统后，每个子系统的信息熵乘以每个子系统在整个系统所占比例(Si X Pi)，最后相加得到的值。也即：信息增益 InfoGain = S-Σ(SixPi)。

举个例子，我们得到如下图所示的一个信息系统(该系统前四列为不同的四个特征，最后一列为结果。)，那么要如何计算整个系统的信息熵，以及该系统对应某个特征的信息增益呢？

首先，可以看出，结果列中一共有14个样例，其中包括9个正例和5个负例。那么当前信息的熵计算

上面，我们计算出了整个系统的信息熵，也就是未对数据进行划分时的信息熵。那么下面我们计算使用某个特征对系统进行划分后，整个系统的信息熵，以及划分前后系统信息熵的差值(信息增益)比如，我们根据第一个特征Outlook进行划分：

划分后，数据被分为三部分了，那么各个分支的信息熵（子系统信息熵）计算如下:

我们将每个子系统的信息熵，乘以该子系统在整个系统中所占比例，依次相加后，得到划分后系统的整体信息熵。如下图所示：

最后，终于来到我们最激动人心的一步了，计算信息增益，如下图所示：

2.4、决策树构建方法

在上一步中，我们计算出每个特征所对应地信息增益，选取信息增益最大的特征优先划分整个系统（将系统划分为一个个子数据集/子树/子系统）。
在每个子系统中，我们再 重新计算 未被使用过的特征的优先级，并选择优先级最大的特征继续划分数据集构造子树。知道，该递归构造子树的过程因为某些原因终止为止。

2.4、构造终止的条件/何时停止构造子树？

1、当我们发现一个子树中，结果完全相同，如结果全部为YES的时候，就没有在该子树中继续构造下去的必要了(其他子树中的构造过程未必终止)。此时我们得到该子树最终的结果为YES。

2、当我们发现一个子树中，虽然其结果没有完全相同，但已经没有可以支撑我们继续构造子树的特征了(简而言之就是所有特征都已经用过了)，这个时候就可以停止在该子树中继续构造了。此时，该子树的最终结果为该子树集合的结果列中，出现次数最多的哪个属性值。

3、算法总结

1、判断每一个子树中的每个例子结果是否一致或是否特征已用尽
  是：该子树构造完成，返回该子树对应的最终结果。
  否：继续递归构造子树
若1中结果为否，则：
  1.1、计算当前子系统信息熵
  1.2、计算未被使用过的特征的信息增益
  1.3、选取最大的信息增益的特征进行划分，并从特征集合中删除该特征
  1.4、根据3中划分构造子树，并转向步骤1。

4、代码稍后整理放上