图像去模糊系列二 高斯白噪声

使用2D矢量场的 LIC(line integral convolution ) 算法时，需要使用 白噪声图片 作为输入。查阅了相关资料。整理如下：


1. 白噪声的定义


  白光是所有颜色的光的叠加而成，不同颜色的光本质区别是他们的频率不同（如 红光频率低、紫光频率高）。与白光类似，白噪声在功率谱密度上（若以频率为横轴，信号幅度的平方为功率（在纵轴上））分布为常值，即从高频到低频各种频率的噪声都有（从频域上考虑），也即每个时刻出现的噪声幅值都是随机的（从时域上考虑）。


2. 高斯白噪声的定义


高斯分布又名正态分布。（正态分布的概率密度函数曲线图，见 http://zh.wikipedia.org/wiki/File:Normal_distribution_pdf.png ）

曲线的形状由两个参数决定：均值 和方差

    a. 均值公式：   。均值决定了曲线的对称中线；


    b.方差公式：。 方差决定曲线的胖瘦，即贴近中线的程度。


概率密度定义了信号出现的频率随幅值的变化情况，以信号幅值为横轴，以出现的频率为纵轴。因此，从概率密度角度来说，高斯白噪声的幅度服从高斯分布。


下面给出了图示说明：


（1） 白噪声


    功率谱：（y轴表示噪声值，已归一化至【0,1】区间。）           

概率谱：

      


（2） 高斯白噪声

 功率谱：（未作归一化）       

                                               概率谱：

代码 1.1. 使用乘同余法  生成 白噪声

/**************************
用乘同余法产生均匀分布白噪声（一串随机序列）。算法及程序实现叙述如下。
1) 在函数之外设定随机种子，随机序列为sequence，长度 n
2)  取 M =2^35，x = (A*x)mod M;e[i]= x/M ; 循环n次，得到均匀分布白噪声序列e[].该伪随机数的循环周期为2^(35-2)。
3) 实际实现中，将 e[i]= x/M ; 替换为 取ei的 小数部分 再赋值给ei＋1，循环n次，就得到均匀分布白噪声序列；
*************************/
void whiteNoise(vector<double> &sequence,int n)
{
    int x = rand();
    int A = 3125;
    double M = pow(2.0f,35.0f);
    sequence.resize(n);
    double seed =double(x/M);
    sequence[0]= ( A * seed - int( A * seed ));//取小数部分
    double average = 0,serror=0; //统计均值、方差
    for (int i=1;ii)
    {
        sequence[i]=( A * sequence[i-1] - int( A * sequence[i-1] ));//取小数部分，获得均匀分布白噪声序列
        average+=sequence[i];
    }
    average/=n;//得到均值
    for(int i=0;ii)
    {
        serror +=(sequence[i]-average)*(sequence[i]-average);
    }
    serror/=n;//得到方差

    
    counter1.resize(pieceNum);//用vecotr counter 进行概率统计，共分为 pieceNum 份 进行统计
    int max=0;
    for(int i=0;ii)
    {
        int index = sequence[i]/double(10.0f/pieceNum)+pieceNum/2;
        counter1[index]++;
        if(counter1[index] > max)
            max=counter1[index];
    }
    for(int i=0;ii)
    {
        counter1[i]/=(double)max;    //归一化
    }
}

代码 1.2. 使用 迭代取中法  生成 白噪声

/*************************************
 用迭代取中法产生均匀分布白噪声
***************************************/
void MakeWhiteNoise(vector<double> &sequence,int  n)
{        
        sequence.resize(n);
        for(int  j = 0; j < n;  j ++)
        {    
            int  r = rand();
            r = (  (r & 0xff) + ( (r & 0xff00) >> 8 )  ) & 0xff;//截取后8位
            sequence[j] = (unsigned char) r/(double)0xff;//归一化
        }

    counter1.resize(pieceNum);//用vecotr counter 进行概率统计，共分为 pieceNum 份 进行统计
    int max=0;
    for(int i=0;ii)
    {
        int index = sequence[i]/double(10.0f/pieceNum)+pieceNum/2;
        counter1[index]++;
        if(counter1[index] > max)
            max=counter1[index];
    }
    for(int i=0;ii)
    {
        counter1[i]/=(double)max;    //归一化
    }
}

代码 2.1.  使用公式生成 高斯白噪声

/*************************
    先生成两个（0,1）间随机白噪声序列 sq1,sq2，再利用公式: c[i]=serror*(–2*log sq1[i])^0.5*cos(2*pi*sq2[i]) ＋average 循环n次
   计算得到均值和方差可任意调整的白噪声序列。
*************************/
void guassWhiteNoise(vector<double> &vdGuassSequence,int n,double average,double serror)
{
        //根据均值和方差得到调整后的白噪声序列
    vector<double> sq1,sq2;
    whiteNoise(sq1,n); //使用乘同余法
    whiteNoise(sq2,n);
    /*MakeWhiteNoise(sq1,n); //或使用迭代取中法
    MakeWhiteNoise(sq2,n);*/

    vdGuassSequence.resize(n);
    double average2 = 0,serror2=0;//均值、方差
    for (int i=0;ii)
    {
        if(sq1[i]!=0)
            vdGuassSequence[i]= serror* sqrt((-2) *log(sq1[i])) * sin( 2*PI* sq2[i])  +average;
        else
            vdGuassSequence[i]= serror* sqrt((-2) *log(0.0000001)) * sin( 2*PI* sq2[i])  +average;
        average2+=vdGuassSequence[i];
    }
    average2/=n;//得到均值
    for(int i=0;ii)
    {
        serror2 +=(vdGuassSequence[i]-average2)*(vdGuassSequence[i]-average2);
    }
    serror2/=n;//得到方差

    counter2.resize(pieceNum+1);//用vecotr counter2 进行概率统计，共分为 pieceNum 份 进行统计
    int max=0;
    for(int i=0;ii)
    {
        int index = vdGuassSequence[i]/double(20.0f/pieceNum)+pieceNum/2;
        counter2[index]++;
        if(counter2[index] > max)
            max=counter2[index];
    }
    for(int i=0;ii)
    {
        counter2[i]/=(double)max;    //归一化
    }
}

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