大话数据结构学习笔记 - 二叉树

大话数据结构学习笔记 - 二叉树

二叉树的定义

二叉树(Binary Tree)是 n(n≥0) n ( n ≥ 0 ) 个结点的有限集合， 该集合或者为空集(称为空二叉树)，或者由一个根节点和两棵互不相交的、分别称为根节点的左子树和右子树的二叉树组成

二叉树特点

特点

• 每个结点最多有两棵子树，故不存在度大于2的结点
• 左子树和右子树是有顺序的，次序不能任意颠倒
• 即使树中某结点只有一棵子树，也要区分是左子树还是右子树

五种基本形态

• 空二叉树
• 只有一个根节点
• 根节点只有左子树
• 根节点只有右子树
• 根节点既有左子树又有右子树

特殊二叉树

• 斜树：所有结点都只有左子树的二叉树叫左斜树，对应有右斜树，统称为斜树

• 满二叉树：所有分支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在同一层上的二叉树

  • 叶子只能出现在最下一层，否则不平衡
  • 非叶子节点的度一定是2
  • 同样深度的二叉树，满二叉树的结点个数最多，叶子数最多

  

• 完全二叉树： 对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号为 i(1≤i≤n) i ( 1 ≤ i ≤ n ) 的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则这棵二叉树称为完全二叉树

  • 叶子结点只能出现在最下两层
  • 最下层的叶子一定集中在左部连续位置
  • 倒数二层，若有叶子结点，一定都在右部连续位置
  • 如果结点度为1，则该结点只有左孩子，即不存在只有右子树的情况
  • 同样结点数的二叉树，完全二叉树的深度最小

  

二叉树的性质

• 在二叉树的第i层上至多有 2i−1 2 i − 1 个结点 (i≥1) ( i ≥ 1 )
• 深度为k的二叉树至多有 2k−1 2 k − 1 个结点 (k≥1) ( k ≥ 1 )
• 对任何一棵二叉树T， 如果其终端结点数为 n0 n 0 ， 度为2的结点树为 n2 n 2 ， 则 n0=n2+1 n 0 = n 2 + 1
• 具有n个结点的完全二叉树的深度为 ⌊log2n⌋+1 ⌊ l o g 2 n ⌋ + 1 (⌊x⌋表示不大于x的最大整数) ( ⌊ x ⌋ 表 示 不 大 于 x 的 最 大 整 数 )
• 如果对一棵具有n个结点的完全二叉树(其深度为 ⌊log2n⌋+1 ⌊ l o g 2 n ⌋ + 1 )的结点按层序编号(从第1层到第 ⌊log2n⌋+1 ⌊ l o g 2 n ⌋ + 1 层，每层从左到右)，对任一结点 i(1≤i≤n) i ( 1 ≤ i ≤ n ) 有：
  
  • 如果 i = 1， 则结点i是二叉树的根，无双亲；如果 i>1 i > 1 , 则其双亲是结点 ⌊i/2⌋ ⌊ i / 2 ⌋
  • 如果 2i>n 2 i > n ， 则结点i无左孩子(结点i为叶子结点); 否则即 2i≤n 2 i ≤ n 时其左孩子是结点 2i 2 i
  • 如果 2i+1>n 2 i + 1 > n ， 则结点i无右孩子；否则 2i+1≤n 2 i + 1 ≤ n 时， 其右孩子是结点 2i+1 2 i + 1

二叉树的存储结构

二叉树顺序存储结构

顺序存储结构一般只用于 完全二叉树，否则会造成空间浪费

二叉链表(链式存储结构)

二叉树每个结点最多有两个孩子，故结点结构为一个数据域和两个指针域

/* 二叉树的二叉链表结点结构定义 */
typedef struct BiTNode
{
    TElemType data;  // 结点数据
    struct BiTNode *lchild, *rchild;  // 左右孩子指针
}BiTNode, *BiTree;

遍历二叉树

二叉树的遍历(traversing binary tree)是指从根节点出发，按照某种次序依次访问二叉树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。 由前序和后序无法得到唯一二叉树

前序遍历

规则是若二叉树为空，则空操作返回，否则先返回根节点，然后前序遍历左子树，再前序遍历右子树。下图遍历顺序为ABDGHCEIF

递归版

void PreOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T == NULL)
        return;
    printf("%c", T->data);
    PreOrderTraverse(T->lchild);
    PreOrderTraverse(T->rchild);
}

非递归版

思想： 由前序遍历顺序可知，首先访问根节点，然后分别访问左子树和右子树。对于每个子树来说，以同样的顺序进行

步骤

• 访问结点p, 然后将其入栈
• 判断结点p的左子树是否为空，若不为空，将p左子树作为当前的结点p 。若为空，则取出栈顶结点并进行出栈操作，并将栈顶结点的右子树作为当前结点p
• 知道p为NULL并且栈为空，遍历结束

void PreOrderTraverseNoRecursive(BiTree T)
{
    stack s;
    BiTree p = T;
    while(p != NULL || !s.empty())
    {
        while(p != NULL)
        {
            printf("%c", p->data);
            s.push(p);
            p = p->lchild;
        }
        if(!s.empty())
        {
            p = s.top();
            s.pop();
            p = p->rchild;
        }
    }
}

中序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从根节点开始(注意并不是先访问根节点)，中序遍历根节点的左子树，然后是访问根节点，最后中序遍历右子树。下图遍历顺序为GDHBAEICF

递归版

void InOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T == NULL)
        return;
    InOrderTraverse(T->lchild);
    printf("%c", T->data);
    InOrderTraverse(T->rchild);
}

非递归版

思想：按中序遍历顺序，先访问左子树，再访问根节点，后访问右子树。对于每个子树来说，按同样顺序进行遍历。

步骤

• 若当前结点p的左子树不为空，则将p入栈，并将p左子树置为当前节点，按相同规则进行
• 若当前结点左子树为空，则取出栈顶元素并进行出栈操作，访问该栈顶结点，将当前结点p置为该栈顶结点的右子树
• 知道p为NULL并且栈为空遍历结束

void InOrderTraverseNoRecursive(BiTree T)
{
    stack s;
    BiTree p = T;
    while(p != NULL || !s.empty())
    {
        while(p != NULL)
        {
            s.push(p);
            p = p->lchild;
        }
        if(!s.empty())
        {
            p = s.top();
            s.pop();
            printf("%c", p->data);
            p = p->rchild;
        }
    }
}

后序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从左到右先叶子后结点的方式遍历访问左右子树，最后是访问根节点。下图遍历顺序为GHDBIEFCA

递归版

void PostOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T == NULL)
        return;
    PostOrderTraverse(T->lchild);
    PostOrderTraverse(T->rchild);
    printf("%c", T->data);
}

非递归版

思想：后序遍历的非递归版本比较复杂，使用一个栈的话，过程比较繁琐。此处选择使用两个栈。

步骤

• 将当前节点p入栈一s
• 将栈一栈顶元素出栈，并入栈st
• 然后将当前结点的左子树和右子树入栈一s
• 按相同顺序进行，直到栈s为空
• 最后，所有结点已经入栈st，且按照后序遍历的顺序存放，直接全部出栈，访问结点即可

void PostOrderTraverseNoRecursive(BiTree T)
{
    if(!T)
        return;
    stack s, st;
    BiTree p;
    s.push(T);
    while(!s.empty())
    {
        p = s.top();
        st.push(p);
        s.pop();
        if(p->lchild)
            s.push(p->lchild);
        if(p->rchild)
            s.push(p->rchild);
    }
    while(!st.empty())
    {
        printf("%c", st.top()->data);
        s.pop();
    }
}

层序遍历

规则是若树为空，则空操作返回，否则从树的第一层，也就是根节点开始访问，从上而下逐层遍历，在同一层中，按从左到右的顺序对结点逐个访问。下图遍历顺序为ABCDEFGHI

思想：层序遍历由于层级的关系，需要使用队列存储，从左到右，从上到下。依次将该结点，该结点的左子树，该结点的右子树入队，即可保证顺序是层序排列。

步骤

• 若根节点不为空，则将根节点入队，进入循环
• 将首元素出队，并且访问该结点
• 如果该结点有左孩子，将其左孩子入队
• 如果该结点有右孩子，将其右孩子入队

/* 二叉树的层序遍历算法 */
void LevelOrderTraverse(BiTree T)
{
    if(T == NULL)
        return;
    queue q;
    BiTree p;
    q.push(T);
    while(!q.empty())
    {
        p = q.front();
        printf("%c", p->data);
        q.pop();
        if(p->lchild)
            q.push(p->lchild);
        if(p->rchild)
            q.push(p->rchild);
    }
}

二叉树的建立

/* 按前序输入二叉树中结点的值(一个字符)， # 表示空树，构造二叉链表表示二叉树 T */
void CreateBiTree(BiTree &T)
{
    TElemType ch;
    scanf("%c", &ch);
    if(ch == '#')
        *T = NULL;
    else
    {
        (*T) = (BiTree)malloc(sizeof(BiTNode));
        if(!*T)
            exit(OVERFLOW);
        (*T)->data = ch;  // 生成根节点
        CreateBiTree(&(*T)->lchild);  // 构造左子树
        CreateBiTree(&(*T)->rchild);  // 构造右子树
    }
}

结语

有关二叉树的完整代码示例 code

有关于树的算法题还是很多的，后续会整理相关知识。Fighting