【学习总结】《大话数据结构》- 第6章-树

【学习总结】《大话数据结构》- 总

启示：

• 树

  

目录

• 6.1 开场白
• 6.2 树的定义
• 6.3 树的抽象数据类型
• 6.4 树的存储结构
• 6.5 二叉树的定义
• 6.6 二叉树的性质
• 6.7 二叉树的存储结构
• 6.8 遍历二叉树
• 6.9 二叉树的建立
• 6.10 线索二叉树
• 6.11 树、森林与二叉树的转换
• 6.12 赫夫曼树及其应用
• 6.13 总结回顾
• 6.14 结尾语
  

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6.1 开场白

• 一些可以略过的场面话...

6.2 树的定义

• 定义

  
  

  • 注意：

    • n>0时：根节点是唯一的，不可能存在多个根节点。

    • m>0时：子树的个数没有限制，但它们一定互不相交。

• 结点分类

  • 结点的度（degree）：结点拥有的子树数

  • 叶结点（leaf）或终结点：度为0的结点

  • 非终端结点或分支结点：度不为0的结点

  • 内部结点：除根节点外，分支结点也称为内部结点

  • 树的度：树内各结点的度的最大值

    

• 结点间关系

  • 孩子（child）：结点的子树的根称为该结点的孩子

  • 双亲（parent）：该结点称为孩子的双亲（父母同体，唯一的一个）

  • 兄弟（sibling）：同一个双亲的孩子之间互称兄弟

  • 祖先：结点的祖先是从根到该结点所经分支上的所有结点

  • 子孙：以某结点为根的子树中的任一结点都称为该节点的子孙

    

• 树的其他相关概念

  • 层次（level）：从根开始定义起，根为第一层，根的孩子为第二层

    即：若某结点在第L层，则其子树的根就在第L+1层

  • 堂兄弟：双亲在同一层的结点互为堂兄弟

  • 深度（depth）或高度：树中结点的最大层次称为树的深度或高度

    

  • 有序树/无序树：如果将树中结点的各子树看成从左至右有次序的，不能互换的，则称该树为有序树，否则为无序树。

  • 森林（forest）：m（m>=0）棵互不相交的树的集合。

    • 对于树中每个结点而言，其子树的集合即为森林。

• 线性表与树的对比

  

6.3 树的抽象数据类型

• 相比线性结构，树的操作就完全不同了。以下是基本和常用操作。

  

6.4 树的存储结构

• 简单的顺序存储结构无法直接反映逻辑关系，不能满足树的实现要求

  故充分利用顺序存储和链式存储结构的特点，介绍三种不同的表示法

• 双亲表示法

  • 引入：除根节点外，其余每个结点，不一定有孩子，但一定有且仅有一个双亲

  • 定义：设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点到链表中的位置。

    • data：数据域，存储结点的数据信息

    • parent：指针域，存储该结点的双亲在数组中的下标

    • 约定：根节点的位置域为-1

      

  • 代码实现：

    
    

  • 图示：

    

  • 弊端：找一个结点的双亲，时间复杂度O(1)，但是找一个结点的孩子，需要遍历整个结构

  • 针对上述找孩子的解决：增设一个结点最左边孩子的域（长子域），没有孩子的结点，长子域为-1

    • 2个孩子：知道长子是谁，另一个就是次子了

      

  • 另一个问题：兄弟之间的关系 -- 增加一个右兄弟域来体现兄弟关系，没有右兄弟时为-1

    

  • 同时关注结点的双亲、孩子、兄弟时：设置双亲域、长子域、右兄弟域

    但对时间遍历要求较高，有需要时再添加相应的结构

• 孩子表示法

  • 多重链表表示法：

    • 每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一棵子树的根节点，这种方法叫做多重链表表示法。

  • 方案一：设置指针域的个数为树的度

    • 可能存在空间的浪费

      
      
      
      

  • 方案二：设置每个结点指针域的个数等于该结点的度，取一个位置来存储结点指针域的个数

    • 空间利用率提高，但是各个结点的链表结构不同，要维护结点的度的数值，时间损耗提高

      
      
      
      

  • 孩子表示法：

    • 把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点，则此单链表为空。然后n个头指针又组成一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组中。

      
      

  • 孩子表示法的两种结点结构

    • 孩子链表的孩子结点

      
      

    • 表头数组的表头结点

      
      

  • 孩子表示法的结构定义代码：

    
    

  • 孩子表示法的弊端：找某结点的双亲，仍需要遍历整个树

  • 改进：双亲孩子表示法

    

• 孩子兄弟表示法

  • 引入：

    任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。

    因此，可以设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟

    
    

  • 结构定义代码：

    

  • 图示：

    
    

  • 弊端：找双亲仍需遍历整棵树，可以增加parent指针域

  • 好处：把一棵复杂的树变成了一棵二叉树

    

6.5 二叉树的定义

• 定义

  
  

• 1、二叉树的特点

  
  
  
  

• 2、特殊二叉树

  • 1-斜树：

    所有结点都只有左子树的二叉树叫左斜树

    所有结点都只有右子树的二叉树叫右斜树

    这两者统称为斜树。

    特点：每层只有一个结点，结点个数与二叉树的深度相同

    注：线性表结构可以理解为是树的一种极其特殊的表现形式

    

  • 2、满二叉树

    定义：一棵二叉树中，所有分支结点都存在左右子树，并且所有叶子都在同一层

    

    特点：

    

  • 3、完全二叉树

    • 定义：对一棵具有n个结点的二叉树按层序编号，如果编号i(1<=i<=n)的结点与同样深度的满二叉树中编号为i的结点在二叉树中位置完全相同，则此二叉树为完全二叉树

      完全二叉树示例：

      

      非完全二叉树示例：

      

    • 完全二叉树的特点：

      

    • 完全二叉树的判断方法：给每个结点按满二叉树的结构逐层排序，如果编号出现空档，就不是，否则就是。

6.6 二叉树的性质

• 推导：

  
  
  

• 简单推导：

  
  

• 举例：

  
  

6.7 二叉树的存储结构

• 二叉树的顺序存储结构：按完全二叉树编号

  • 顺序存储结构一般只用于完全二叉树，否则容易造成空间的浪费

  • 完全二叉树：

    
    

  • 一般二叉树：

    

  • 极端情况的二叉树：

    

• 二叉链表

  • 定义：

    二叉树每个结点最多有两个孩子，所以设置一个数据域和两个指针域，这样的链表称为二叉链表。

    
    • data：数据域
    • lchild和lchild：指针域，分别存放指向左孩子和右孩子的指针。

  • 二叉链表的结点结构定义代码

    

  • 图示：

    

  • 三叉链表：

    • 如有需要，可增加一个指向其双亲的指针域，其称为三叉链表。

6.8 遍历二叉树

• 二叉树遍历原理

  

  • 关键词：访问和次序

  • 访问：根据实际的需求来确定具体做什么，算作是一个抽象操作。

  • 遍历次序：

    • 线性结构最多是从头到尾、循环、双向等。

    • 树节点不存在唯一前驱后继，会因为遍历方式不同而产生完全不同的结果。

• 二叉树遍历方法：

  • 四种：前序遍历、中序遍历、后序遍历、层序遍历。

  • 前序遍历：

    
    

  • 中序遍历：

    
    

  • 后序遍历：

• 层序遍历：

6.9 二叉树的建立

6.10 线索二叉树

6.11 树、森林与二叉树的转换

6.12 赫夫曼树及其应用

6.13 总结回顾

6.14 结尾语

END

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