《大话数据结构》笔记--树

树的相关定义

定义：树是n(n>=0)个结点的有限集。n=0称为空树。在任意一颗非空树中：

1）有且仅有一个特定的称为根的结点
2）当n>1时，其余结点可分为m(m>0)个互不相交的有限集$T_1,T_2,...,T_m$， 其中每一个集合本身又是一颗树，并称为根的子树。

度

结点拥有的子树数称为结点的度, 度为0的结点称为叶结点或终端结点；度不为0的结点称为非终端结点或分支结点，树的度是树内结点的度的最大值。

深度（高度）

树中结点的最大层次称为树的深度或高度

注意两者度和深度概念的区别，在上图中，度为3，而深度为4

树的存储结构

充分利用顺序存储和链式存储结构的特点，实现对树的存储结构的表示，以下介绍三种表示方法

双亲表示法

假设以一组连续空间存储树的结点，同时在每个结点中，附设一个指示器指示其双亲结点在数组中的位置，也就是，每个结点除了知道自己是谁之外，还知道它的双亲在哪里。

data	parent

其中data是数据域，存储结点的数据信息，parent是指针域，存储该结点的双亲在数组的下标

根据上图，可以得到如下的存储结构，其中约定根结点的位置域设置为-1

下标	data	parent
0	A	-1
1	B	0
2	C	0
3	D	0
4	E	1
5	F	1
6	G	2
7	H	3
8	I	3
9	J	3
10	K	4
11	L	4
12	M	7

以上的存储结构，我们可以很快地根据结点找出对应的双亲的结点，时间复杂度为O(1)，但是如果想知道结点的孩子呢？我们需要遍历整个结构。怎么改进呢？通过增加一个结点最左边孩子的域，先称为长子域，约定没有孩子的结点，这个长子域设为-1,那么有

下标	data	parent	firstchild
0	A	-1	1
1	B	0	4
2	C	0	6
3	D	0	7
4	E	1	10
5	F	1	-1
6	G	2	-1
7	H	3	12
8	I	3	-1
9	J	3	-1
10	K	4	-1
11	L	4	-1
12	M	7	-1

以上的结构解决了含有0或1个孩子的结点找孩子的问题。如果更关注兄弟间的关系，双亲表示法可以增加一个右兄弟关系，即每一个结点如果存在右兄弟，则记录下右兄弟的下标。

孩子表示法

方法１

多重链表表示法：每个结点有多个指针域，其中每个指针指向一颗子树的根结点

data	child1	child2	…	childd

其中data是数据域。child1到childd是指针域，用来指向该结点的孩子结点。

对于上图来说，树的度是３，所以指针域的个数是３，实现如下图：

缺点：对于树中各结点的度相差很大时，造成空间浪费

方法２

每个结点指针域的个数等于该结点的度，专门取一个位置来存储结点指针域的个数

其中data为数据域，degree为度域，也就是存储结点的孩子结点的个数，　child1到childd为指针域，指向该结点的各个孩子的结点

优点：克服了浪费空间的缺点，对空间利用率较高
缺点：各个结点的链表是不相同的结构，加上要维护结点的度的数值，时间复杂度较高
孩子表示法：把每个结点的孩子结点排列起来，以单链表作为存储结构，则n个结点有n个孩子链表，如果是叶子结点则此单链表为空。然后n个头指针作为一个线性表，采用顺序存储结构，存放进一个一维数组，实现如下图：

孩子兄弟表示法

任意一棵树，它的结点的第一个孩子如果存在就是唯一的，它的右兄弟如果存在也是唯一的。，因此，我们设置两个指针，分别指向该结点的第一个孩子和此结点的右兄弟。