同济高等数学第七版1.4习题精讲

同济高等数学第七版1.4习题精讲

1.两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明。

解：不一定。例如：当时，与都是无穷小，但二者之商却不是无穷小。

2.根据定义证明：

(1)为当时的无穷小；

(2)为当时的无穷小。

证明：本题要求根据定义证明，相当于证明在该趋势下函数的极限为0即可。所以依然根据极限证明的八股文即可。

(1)对于任意小的,要使得成立，只需取,于是乎对于任意小的,总存在,当时成立。问题得证。

(2)对于任意小的,要使得成立，只需取,于是乎对于任意小的,总存在,当时成立。问题得证。

3.根据定义证明：函数为当时的无穷大。问应满足什么条件，能使得?

证：对于任意给定的正数，要想使得成立。只需即可。即。故取，于是对于任意给定的正数，总存在，当 时有成立。问题得证。

要使得就相当于令，所以取，于是当 时有成立。所以最后的答案就是需要计算 这个。

4.求下列极限并说明理由：

(1)

(2)

解：(1)答案为2。

(2)=

5.根据函数极限或者无穷大定义，填写下表。

1.4.png

6.函数在内是否有界？这个函数是否为时的无穷大？为什么？

解：设一个正数，在内，总可以使得在某一个地方设处等于1，此时函数是无界的。

在内，总可以使得在某一个地方设处等于0，此时函数是不符合无穷大定义的。

此时，可能会有部分同学不太理解上面的含义，其实主要是符号的原因让人刚开始觉得有点难度。无穷大的定义简单来说就是在某一个范围内，对于任意的,总会有成立。上面的都等于0了，还怎么大于。

7.证明函数在区间上无界，但这函数不是时的无穷大？

证明：例如取时，函数的变化显然函数是无界的。

例如取时，随着的增大可以趋向于但是此时函数,依然不满足无穷大的定义。

8.求函数的图形渐近线？

解：当时,函数，所以是它的一条水平渐近线。

又可以观察到当时函数,所以是它的两条铅锤渐近线。

无斜渐近线。