小波滤波及小波基函数的选择

         与傅里叶变换相比，小波变换的缺点是小波基函数不具有唯一性，因此小波分析应用到实际中的一个难点就是最佳小波基函数的选取。

         傅里叶分析法就是将信号分解成一系列不同的频率的正弦（余弦）函数的叠加，是一种全局变换，实现信号时域到频域的转化，即对信号的描述或在时域或在频域，无法进一步了解频域的信息具体对应与时域的哪一段。而小波变换可以在时域和频域上来表征信号的局部特征，有利于对信号的分析。

小波滤波原理

         小波变换就是把某一基函数做位移后，求不同尺度下的小波函数与原始信号的内积，表达式如下：

其中，a>0，是尺度因子，隐含信号的频率信息，是平移因子，这样信号就被分解成一系列小波函数的叠加，这就是小波分解的过程。基本原理是：对于信号的不同频率部分，改变尺度值，相当于在时间轴上对信号进行压缩和伸展。尺度越大，表示分析的信号区间越长，那么在频域的分辨率就越低，这样可以获取信号的低频成分；反之可以得到信号的高频成分。小波变换可以得到一系列的小波系数，从中分析有用信号和噪声各自对应的部分，对小波系数进行适当的处理。小波重构就是用处理得到的新的系数来重构信号。

         小波进行滤波就是一个小波分解和重构的过程，其基本步骤如下：

u  选择合适的小波基函数

u  对信号进行指定层次的小波分解

u  对各分解层进行处理，得到新的小波系数

u  用新得到的系数进行小波重构（小波逆变换）

小波基函数的选择

         对于同样的信号，不同的基函数会得到不同的结果。在小波基函数选择的时候要结合信号本身的特点，也要清楚小波基函数选取的原则：

u  正交性：可以使分析简便，有利于信号的精确重构

u  对称性：对称的基函数使得小波滤波呈线性相位，信号不会失真，也可以提高算法的运行速度

u  紧支性：紧支集的长度决定着信号局部特性的好坏，紧支集越短的小波基函数，局部时频特征就越好，越有利于信号的瞬时检测

u  正则性：决定信号重构后的平滑性，会影响频域的分辨率，支集长度越长，正则性越好；

u  消失矩：基函数的消失矩越高，在高频的衰减也就越快，变换后信号的的能量越集中，可以保持良好的频域定域性。