详解 有符号定点小数 的补码表示

    最近在读《深入理解计算机系统》(兰德尔 E. 布莱恩特)，理解定点小数的补码表示时绕了些弯路，在这里记下来，以作巩固。

概念补充

    补码(Two's complement)、反码(Ones' Complement)、原码(Sign Magnitude)：

    注意，补码和反码中，撇号的位置不同。

    术语补码来源于这样一个情况，对于非负数x，我们用2ⁿ - x（这里只有一个2）来计算-x的n位表示；

    术语反码来源于这样一个属性，我们用[111...1] - x（这里有很多个1）来计算-x的反码表示。

    原码、反码、补码规则编码的二进制形式的有符号数和其实际值的转换公式：

    假设有一个有符号的二进制的数据： ，则其所表示的实际值为：

    原码：   

    反码：

    补码：

定点小数 

    定点小数即纯小数，小数点的位置固定在最高有效数位之前、符号位之后，如图1所示。定点小数的小数点位置是隐含约定的，小数点并不需要真正地占据一个bit。

图1 定点小数格式

    当 Xs = 0 时，该小数为正值，其原码和补码表示的形式相同。

    其中，

    ⑴ 绝对值最大的正小数为：

    其实际值等于（通过移项及合并同类项，可知该等式成立）： 

    ⑵ 绝对值最小的正小数为： 

    其实际值等于： 

    以8bit数为例，最大正小数为 0.111 1111 = 1 - 2⁻⁷；最小正小数为 0.000 0001 = 2⁻⁷

    当 Xs = 1 时，该小数为负值，有原码和补码两种表示形式（以下形式包含Xs位）。 

    ⑴ 绝对值最大的负小数

        ① 原码表示

         ② 补码表示

    ⑵ 绝对值最小的负小数

        ① 原码表示

         ② 补码表示

    可见，定点负小数的原码表示范围为: -(1 - 2⁻ⁿ) ~ -2⁻ⁿ；其补码表示范围为：-1 ~ -2⁻ⁿ。且n值越大，精度越高。