不求大道出迷途，纵负贤才岂丈夫。
解密数学思维之道，悟道数学思想方法。启迪思维，开慧增智。本立道生，圆融无碍。
作者：王国波
本系列先前在iteye网站wanshi.iteye.com上，本系列原链接，现在搬迁到。
如何阅读：这个系列偏重讲数学思想方法和思想方法在解题思维过程中的具体运用，从第一篇也就是本篇开始按顺序读，反复多读几遍。
数学知识在各行各业日常生活中都需要，都有渗透，数学的重要性不用多谈，数学可以给其他学科和各行各业赋能，学好了数学可以反哺其他领域，例如在理工科科研领域，可以运用各种数学知识和数学思维，即使不在科研领域，不需要使用高深的数学知识，我们从数学学习中锻炼熏陶出来的严谨/灵活/系统/批判的数学思维也有助于思考日常生活中的问题。数学是锻炼思维的体操，数学学习，如果不止于满足日常生活中的买菜购物等活动，除了学习基本的知识点之外，更重要的是训练培养良好的数学思维能力，用数学的观点去思考问题和解决问题的能力。数学思维能力锻炼出来了，不限于数学研究领域，在各行各业中从事工作特别是科研工作都能受益。
首先要明白什么是思维、思想、数学思维、数学思想、数学方法。
思维是一种精神活动,即在表象、概念的基础上进行分析、综合、比较、归纳、判断、猜测、推理等认识活动的过程。思维以感知为基础又超越感知的界限。通常意义上的思维，涉及所有的认知或智力活动。它探索与发现事物的内部本质联系和规律性，是认识过程的高级阶段。更详细的介绍参见百度百科，思维方法参见百度百科。
数学思维也就是人们通常所指的数学思维能力，即能够用数学的观点去思考问题和解决问题的能力，它是一种能力而不是知识，思维能力主要是指：会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括；会用归纳、演绎和类比进行推理；会合乎逻辑地、准确地阐述自己的思想和观点；能运用数学概念、思想和方法，辨明数学关系，形成良好的思维品质。更详细的讲述参见百度百科。
思想一般也称“观念”，是一种客观存在反映在人的意识中经过思维活动而产生的具有系统性、理论性、概括性的认知结果。掌握某种思想后，我们就可以把它作为工具，在后续的思考过程中重用，提高思考的效率，但并不保证正确性，因为可能使用的是错误的思想，或不适用于问题场景的思想。
思维和思想的联系与区别，思想是由思维产生的，思想是思维的结果和产物，思维是思考的过程，思想是思考后的结果。有很多形式的思维方式，也有很多种类的思想。思维方法描述思考的外在形式风格，它决定思维的大体方向和策略，我们注重思维灵活性和方式的多样性，而各种思想描述的是应用它(思想)来思考时它的内在运作模式和内容，我们注重思想的先进性、思想内容和使用的正确性。
数学思想是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识，是人们在认识、学 习 、应用数学中总结 、提炼 、归纳和概括出来的思想精华，是数学思维活动后产生的结果，是对数学知识发生过程 的升华，是数学思维的结 晶。数学思想直接或间接支配着数学活动 ，是数学方法的灵魂，是解决数学问题的根本策略，是把知识转化为能力的桥梁。通过数学思想的培养，数学的能力才会有一个大幅度的提高。掌握数学思想，就是掌握数学的精髓。
数学方法是数学思想的外在表现形式，是数学思想的具体化，是人们为解决数学问题而采用的手 段 、途径和行为方式 中所包含的可操作的规律或模式，例如配方法、待定系数法。数学方法应以数学思想为指南。
在本系列中，把数学思想和数学方法统称为数学思想方法。
本系列主要讲述在数学思想方法指导下如何进行数学思维，不是讲数学基础知识的，但在讲述过程中会用到一些数学基础知识，阅读者要事先掌握基础知识。
在数学学习中，较多学生对基础知识掌握的较好，但在考试或平时作业时，特别是对压轴题或有点难度的题，一听就懂(听老师讲或看参考答案)，一考就糊。看到题目，只能模模糊糊猜测要用哪些知识，但开始阶段如何破题，如何找到解题突破口走出解题的第一步，思路是怎样的，如何形成解题思路？几乎是狗咬刺猬-无从下口，干着急不知道变通，束手无策。对这类学生，主要原因在哪？为何很多学生和家长觉得数学难学，为何很多学生存在学习障碍和解题思维障碍？
抛开学生个人的因素，主要原因在我们的数学教材、师资力量和课堂教学。
初高中数学教材几乎都是知识，没有数学思想方法的内容，真正透彻悟道数学思维的老师太少，课堂教学能启迪数学思维的不多，培养数学思维能力是一句空话，落地效果差。
我们要认识到掌握知识和培养能力是两个不同的方面，用我们熟知的阴阳来类比，知识属阳，相对来说，它是可见实在的，能力属阴，在大脑中，相对来说是无形的，带有灵性的特质。解决问题除了要知识，还要靠能力。知识大多是成熟的，学校和培训班主要是教知识，并且有较多相关的书籍可以系统地自学，也很好传授，掌握知识相对容易的多，而能力难以传授，学校和培训班不重视能力的培养，即便想培养能力，但由于多种原因， 也心有余而力不足，也很少有书籍讲解如何培养能力，即使有也是比较空泛和概括性的，需要自己多思考总结才能有提高。上述问题的原因就在于知识和能力的非均衡发展，将知识转化为解题能力上出了问题，没有掌握深度思考问题的思想方法论。并不是掌握的知识多就意味着解题能力强。给你一堆上好的食材，你能把它们变成一桌美味？对大多数人来说是不能，需要有掌握厨艺的人利用好这些食材，发挥出它们的价值。与此类似，掌握的知识再多，不会运用或不知道要运用哪些就是解题能力低下。将数学知识转化成解题能力需要有数学思想方法来做指导。数学思想方法是比配方法、换元法这些方法层次更高的。数学思想指导我们的思维，在它的指导下探索解题突破口，在问题和知识点之间穿针引线，形成解题思路。所以说思想比知识更重要，至少同等重要。
但在现实的学习中数学思想方法却一直不被重视，好多年了，即使是后来所谓的素质教育也是如此，误人子弟。
本人在高中阶段主要靠自学数学，物理也是，也不做老师的作业，太简单，几乎把初等数学玩烂了，可以说融汇贯通，悟了数学思维之道解题之道。毕业后曾在某研究所工作，后来改行软件行业，曾先后在中兴、华为、阿里、大疆工作，做过技术专家和技术总监。
本来想低调，但看到很多学生和家长被线上线下的机构和大多数所谓老师们(包括今日头条上的数学老师)忽悠，像学而*，新东*，这类机构太多了，不忍心，创作了数学思想方法揭秘系列，期望能正本清源，拨云见日，拨乱反正，让一些对数学感兴趣的人能真正明白数学学习和数学研究的真谛，这个系列的内容绝大多数是我在高中阶段就已经领悟的，也是多年前就想阐述的。学校以及线上(网上)和线下的各类培训机构，无论是日常教学、奥数竞赛培训还是数学思维培训，都偏重教知识和直接告诉解题方法，而知识和解题方法对大多数学生来说是容易掌握和理解的，难点在解题方法是怎么想出来的，探索解题方法的正确数学思维过程是怎样的，把探索解题方法的思维活动所思所想讲出来，这才是最应该传授给学生的。对想培养数学思维的学生，授人以渔(思维之道)才是本，而不是授人以鱼(数学知识和解题方法)这种末，当然我们应该本和末都要。但现实情况是本末倒置，偏重末，都不重视数学思想方法和数学思维的教学和训练，不注重讲述探索解题方法的思维过程，没有掌握这些思想方法，对有难度的数学题，难以探索出解题方法，不注重探索解题方法的思维过程，学生错失熏陶数学思维的机会，失去了通过解题来锻炼数学思维的价值。有的即使传授数学思想方法，但也大多是挂羊头买狗肉，对数学思想方法一知半解，小学阶段还可以找他们补补基础知识。初中学生，掌握基础知识后，要逐步转向自学，购买好的数学书籍自学，特别是数学思想方法的学习和领悟。也不是博士教授或清华北大毕业的老师教就厉害，悟道数学思想方法的很少，博士教授大多数在这方面没悟道，所以不要迷信他们能帮你悟道数学，好的数学思想方法的书籍也较少，大多数书籍比较空洞肤浅，假传万卷书，真传一句话，悟道的凤毛麟角，真能透彻领悟数学思想方法并能在解题实践中灵活运用的人和书不多。另外数学考高分只是数学还行的必要条件，真的数学高人还要悟道数学思想方法，这个才是充要条件，必然考高分。此外只是数学好，但在大学本科大多数其它理工科课程还要依赖老师讲课，还要专心花较多时间学的是伪数学高人，这点高效自学能力都没有能算数学好？会自学的另一个特点是要知道这领域的知识体系是怎样的，有哪些经典的书籍，能识别书籍的好坏和是否适合自己，垃圾书有很多。
本系列偏重讲数学思想方法和它在解题中的具体运用。数学思想和方法是数学知识的精髓，是将知识转化为能力的桥梁，大海航行靠舵手，数学思想方法指引解题方向和解题思路，也是探索解题突破口的敲门砖和金刚钻。所谓数学思想，就是对数学知识和方法的本质认识，是对数学规律的理性认识。所谓数学方法，就是解决数学问题的根本程序，是数学思想的具体反映。数学思想是数学的灵魂，是道，是数学中的思维之道，数学方法是数学的行为。运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种量的积累达到一定程序时就产生了质的飞跃，从而上升为数学思想。若把数学知识看作一幅构思巧妙的蓝图而建筑起来的一座宏伟大厦，那么数学方法相当于建筑施工的手段，而这张蓝图就相当于数学思想。注：这段话大多数引用自勤学教育网，讲的不错。
有的书上是将数学思想和数学方法分开讲，认为是两个概念，也有的将它们合在一起。在本系列中将两者合在一起，统称为数学思想方法，数学思想可以理解为一种高层次的数学方法，例如联想、类比、归纳、转化就属于数学思想，和通常的数学方法在不同的层次而已，在本系列中我们重点讲这些思想而不是讲诸如平方法、换元法、消元法这些低层次的数学方法。如果再细分，可分为四层，分别对应数学方法的道、法、术、器。
本人原创'数学思想方法揭秘'系列文章真正揭开数学家的思维秘密，启迪学生数学思想。老师和培训机构偏重知识的输贯，教的主要是知识，不注重思想方法的教学和思维训练，不注重讲解探索解题突破口和酝酿解题思路的幕后思维过程，而这个思维过程思维活动才是学生真正要掌握的，更进一步，这个思维过程思维活动，要有正确的思想方法论来作思维指导，这样才能高效探索出解题突破口，而这些在现实的教学中却不受重视或即使有也执行的不好，在高中阶段，学校还没有一本含有数学思想方法的教材，而是主要靠老师在讲题过程中渗透一点点，遑论渗透的一点点还不一定讲的到位。如果想悟道数学思想方法，就把这个系列文章多读几遍。
数学解题，特别是有难度的题，很多时候即使你掌握的知识点再多也感觉束手无策，无从下手。前面说过数学思想方法是将知识转化为能力的桥梁，是寻找解题突破口的敲门砖和金刚钻。巧妇难为无米之炊，现实情况是我们不缺米和食材，中等智力的学生在学校高强度刷题的锻炼下，基础知识点应该说没有问题，缺的是能把米和食材变成一桌好饭菜的巧手，数学思想方法就是这样的巧手和厨艺。数学思想不是万能的，只有数学思想但没有足够的数学知识就会心有余而力不足，所以我们要平衡发展数学思想和数学知识，两者相互配合才能具有优秀的解题能力。
知识点是死的，用将帅的关系来类比，知识是将是人力资源，而思想是帅和帅掌握的兵法，知识要有思想方法这个帅来调动它们，指挥它们，组织调度它们，否则空有一身武艺却找不到北(找不到解题突破口，不能开局，没有好的转化桥梁，知识点再多也不能变现成能力，只能歇菜)或无章法地空耗精力，英雄无用武之地。思想是灵魂，是智慧，是解题方法的母亲，不知母焉知子，不知母的结果就是难产，对难题找不到突破口。我们几十年的数学教育一直是在误人子弟，有的也讲数学思想方法，但太肤浅，也不系统。靠这些学校、机构、老师有效果，但数学思维上不了层次。悟道的本来就很少，奥数金牌教练难以碰到，对掌握基础知识的学生，建议初高中数学，部分时间要用好书自学。
缺少数学思想方法和数学思维能力的教育，即便是理工科博士，也不过学的数学知识多一些，在数学思维能力上并不比高中生强多少，可能还不如一些高中生。
看到数学教育的乱象，不忍心，创作了数学思想方法揭秘系列文章，站出来告诉大家数学学习的真相，消除数学难学的天大误会，揭开数学学习的真谛，悟数学思想之道，培养严谨灵活批判全面的数学思维品质。思想方法也可以理解成一种思维习惯，一旦养成，终身受益，初中懂了，高中来乃至工作中也能用，只是具体使用的知识点可能有不同，帅没变，变的是将(不同的知识点)，知识点容易遗忘，而思想一辈子都难忘记。思想方法和知识点都要掌握好，不能偏废，而实际情况是一直偏重知识点的学习。两者平衡发展，中国这多学生，培养出众多钱学森式的人才真不难，现在是数学教育存在极大问题，把一些天赋较高的学生糟蹋了，思维没锻炼好，不会自学，这就是误人子弟。
给数学有兴趣往高层次发展的做个思想启蒙，静下心来反复多读几编再去看其他数学思想方法的书籍就容易多了。
发前人之所未发，见前人之所未见，文章要有新意，要有创新。本系列融汇辩证法和中国传统文化来讲述数学思想方法，让人有耳目一新的感觉，虽然很早就有讲辩证法和数学的关系，但总觉得是轻描淡写，或比较空洞。此外提出和引入了一些新的数学思想方法如关系思想、矛盾分析法、化学反应思想等。对几何题的矛盾也做了教深入的讨论。本系列关于题目的讲解，偏重于讲述大脑中的思维过程，讲述如何运用数学思想方法来指导解题思维过程，来探索解题突破口。思维过程是学生最最需要掌握的，但恰好也是我们在现实教学中做的最不好的，也是最难的，最欠缺的，思维过程和其中的思想方法是灵动的，不容易用公式化规范化的语言来描述。
这几篇文章较透彻地阐释了辩证法(联系观&关系思想、矛盾观、运动发展观关系思想、矛盾观、整体观、运动发展观等)在数学解题中的巨大指导作用，用具体的数学题让学习者真正明白辩证法如何指导解题实践，而不是让它沦为空洞耍滑诡辩的代名词，再比如老生常谈的'要辩证地看问题'，这句话更多时候是口头禅，光说不练，也不知道怎么练！这些方面，很多数学思想方法书籍和文章讲的很空泛，高来高去，不接地气，即使有讲也没讲透彻，本系列填补了这个空白。通过这个系列，较透彻地第阐述了数学思想方法以及辩证法在解题中如何具体运用。
简略从客观和主观方面讲下数学题的难度，也就是为何难。客观上，数学题的难度主要是因为存在矛盾，此处的矛盾是指辩证法中的矛盾，不是逻辑推理中的逻辑矛盾。简单的题，顺风顺水，从已知条件到结论很直接，一马平川。我们经常讲经济基础决定上层建筑，生产力决定生产关系，以及生物学中讲的结构决定功能，其实也可以理解成两者要匹配要适应，如相互之间不适应不匹配就会出负面的阻碍发展的问题。对有难度的题，一般是已知条件和结论之间存在矛盾和或已知条件之间存在矛盾，矛盾就是不一致，不适应，就会产生解题障碍，导致难以直接从已知条件顺利得出结论。例如一道几何题，图形中的一些元素(例如一些线段)比较分散，相距较远，难以发生关联或关系不密切，而关系不密切就难以得出结论，想一想氢气和氧气分开就难以发生关系，难以发生化学反应产生水，一样的道理，这就是题目中存在的矛盾导致题目有难度。而作为解题者，我们就要识别出这些矛盾，想法化解矛盾，想法转化矛盾，想法翻山越岭或其他方式跨过障碍。对几何题，我们作辅助线或几何变换，例如作平移(移动位置)，把哪些相距较远的几何元素聚拢在一起，让关系变得密切，那就容易产出结论。但要识别矛盾、化解矛盾，转化矛盾，要有一套成熟的思想方法论来指导我们进行有效思考，找到题目中的破绽，探索解题突破口，酝酿出解题思路。刚才说的作辅助线和几何变换，但如果没掌握数学思想方法，难以快速作出正确的辅助线。前面提到过，我们的教学不重视数学思想方法的学习和训练，这样就导致很多学生觉得数学难学，这就是主观上觉得难，但有人悟道了数学思想方法，思想上开窍觉悟了，他从主观上就不觉得有多难,因为他思想层次高，以道驭术，思维灵活开阔辩证，有章法，正所谓会当凌绝顶，一览众山小。
本系列融汇哲学(辩证法)、思维学、创造学、心理学、认知学、传统文化的相关内容，形成了一套实用的不落俗套的数学思想方法论，虽然讲数学思想方法的书籍较多，有些机构和网络上也有这方面的内容，但这个系列中对数学思想方法的见解和运用和它们还是有较大不同，有兴趣的可以自行比较评判。
相对而言，思想比知识重要，思维过程比解题方法重要，阅读该系列文章，要注意学习文中的思维过程，学习如何运用各种数学思想方法进行思考从而探索出解题方法，如果只是关注每道题的解题方法，就是丢了西瓜捡了芝麻。
格物致知，初学者静下心来从头到尾按顺序把这些文章多读几遍，多揣摩回味，要有共鸣的感觉，再看今日头条‘数学之道’中的例题，进一步学习领悟如何运用数学思想方法。潜移默化，把数学思想方法嵌入到自己的潜意识中变成一种思维习惯思维方式，相信最终能有收获。
不求大道出迷途，纵负贤才岂丈夫，上士闻道，勤而行之，下士闻道，大笑之。祝有缘人能悟道数学思想方法！打破所谓数学难学的错误观念！
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王国波2019.5.11于广州