从汉诺塔到Python递归，一波带走

一、汉诺塔问题

1. 汉诺塔简介

汉诺塔(Tower of Hanoi )问题是源于印度一个古老传说的益智玩具。大梵天创造世界的时候做了三根金刚石柱子，在一根柱子上从下往上按照大小顺序摞着64片黄金圆盘。大梵天命令婆罗门把圆盘从下面开始按大小顺序重新摆放在另一根柱子上。并且规定，在小圆盘上不能放大圆盘，在三根柱子之间一次只能移动一个圆盘。

2. 问题分析

• 假设盘子数 n = 1，那么只需一步把盘子从A移到C。（A —> C）
• 假设盘子数 n = 2，那么需要先把上面的小盘子从A移到B，再把下面的大盘子从A移到C，最后把小盘子从B移到C。（A —> B, A —> C, B —> C）
• 假设盘子数 n = 3，至少需要以下七步操作：（A —> C, A —> B, C —> B, A —> C, B —> A, B —> C, A —> C），如下图：
  
  
  关键点：
• 在把全部盘子从A移到C的过程中，我们多次借用到B作为辅助柱子。假如要求是将全部盘子从A移到B，则此时辅助柱子就变为C。
• 假如盘子数为 n，有一个很重要的思想是：将前 (n-1) 个盘子视为一个整体进行移动，则问题可以简化为三步。1. 将前 (n-1) 个盘子从A经过C的辅助移到B；2. 将第 n 个盘子直接从A移到C；3. 将前 (n-1) 个盘子从B经过A的辅助移到C。
• 同理，假设盘子数为 n-1，即：1. 将前 (n-2) 个盘子从A经过C的辅助移到B；2. 将第 n-1 个盘子直接从A移到C；3. 将前 (n-2) 个盘子从B经过A的辅助移到C。
• 这时我们会发现，第2步是一个简单操作，只需要一步就能搞定。而第1步和第3步的操作思想与前面类似，并且随着操作的执行， n 的数量逐渐减小，问题的规模也逐渐减小。这就是典型的递归问题！

二、Python实现汉诺塔

1. 代码示例

基于Python的递归，实际上只用几行代码就可以打印出最少搬动盘子的步骤。

def move(n,a,b,c):  
    """
    # 注意这里的a,b,c是形参，与下面传入的实参'A','B','C'是通过位置对应，不是大小写字母对应
    :param n: 盘子的个数 
    :param a: a柱子
    :param b: b柱子
    :param c: c柱子
    :return: 
    """
    if n == 1:
        print(a,"->",c)
    else:
        move(n-1,a,c,b)   # 把(n-1)个盘子从a柱子经过c的辅助移到b
        move(1,a,b,c)
        move(n-1,b,a,c)   # 把(n-1)个盘子从b柱子经过a的辅助移到c

move(3,'A','B','C')  # 调用move函数并传实参

运行效果：

2. 代码执行流程

以 n = 3 为例，分析代码调用递归函数的流程：
需要明确的最关键的一点是：每一步的递归都要从算法的开头进行，直到出现输出为止。 也就是汉诺塔算法中每一次move都要回到开头再往下执行，直到n==1为止。

橙色箭头从上到下代表执行流程：

3. 难点分析

形参和实参的对应关系：这里形参全用小写字母表示，实参全用大写字母表示。

以打印步骤 (3) C —> B 为例，分析 move(1,C,A,B) 是怎么来的：

该步骤要执行 move(n-1,b,a,c) ，就要跳回 move(n,a,b,c) ，注意到形参 b,a,c 是在形参 a,b,c 的基础上把第二个位置的参数取出来放在第一个位置，
而 move(n-1,b,a,c) 的上一级 move(2,A,C,B) 的参数为 a = A, b = C, c = B; 所以我们把实参也做位置调整，把C取出来放到第一个位置，实参的顺序变为C,A,B，故形参与实参对应关系变为 a = C, b = A, c = B，所以有 move(1,C,A,B) 。

三、汉诺塔时间复杂度

在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。

1. 严谨推导

• 当盘子数为1时，只需要T(1)步把盘子从A移动到C，显然T(1) = 1;
• 当盘子数为n时，也就是此问题的规模是n，需要T(n)步；把A柱子的n-1个盘子移到B柱子需要T(n-1)步；A柱子最后一个盘子移到C柱子需要1步；B柱子上n-1个盘子移到C柱子上需要T(n-1)步。
• 由上可得两个方程：
  （1）f(1) = 1
  （2）f(n) = 2f(n-1)+1
  这时就将问题转化为求递推公式（2）通项公式 f(n)。

求解方法一：

f(n) = 2f(n-1)+1
f(n)+1 = 2f(n-1)+2 = 2[f(n-1)+1]       (1)
f(n-1)+1 = 2[f(n-2)+1]                 (2)
f(n-2)+1 = 2[f(n-3)+1]                 (3)
f(n-3)+1 = 2[f(n-4)+1]                 (4)
   .           .
   .           .
   .           .
  f(2)+1 = 2[f(1)+1]                   (n-1)

将(2)式的左右两边同乘2^1，将(3)式的左右两边同乘2^2，将(4)式的左右两边同乘2^3，以此类推…将(n-1)式的左右两边同乘2^(n-2)，最后将这(n-1)个式子全部相加，等号左边加左边，等号右边加右边，化简可得：

f(n)+2^0+2^1+2^2+...+2^(n-2) = 2^1+2^2+2^3+...+2^(n-1)+2^(n-1) 
f(n) = 2^1+2^2+2^3+...+2^(n-2)+2*2^(n-1)-2^0-2^1-2^2-...-2^(n-2)
f(n) = 2*2^(n-1)-1

=> f(n) = 2^n - 1

求解方法二：

f(n) = 2f(n-1)+1
f(n)+1 = 2f(n-1)+2 = 2[f(n-1)+1]       
设 f(n)+1 = Un，则2[f(n-1)+1] = 2U(n-1)  注：U后面的n与(n-1)均为下标，以下同理：
    Un = 2U(n-1)
U(n-1) = 2U(n-2)
故：Un = 2U(n-1) = 2*2U(n-2) = 2*2*2U(n-3) = ...
=> Un = 2^1*U(n-1) = 2^2*U(n-2) = 2^3*U(n-3) = ... = 2^(n-1)*U1
又因为上面设 Un = f(n)+1，故：U1 = f(1)+1 = 2
所以：Un = 2^(n-1)*U1 = 2^(n-1)*2 = 2^n = f(n)+1

=> f(n) = 2^n - 1

由于时间复杂度都是考虑问题规模n非常大的情况，所以常数可以忽略不计，故汉诺塔问题的时间复杂度为：O(2^n)

2. 找规律法

根据递推公式：f(n) = 2f(n-1)+1 ，又f(1) = 1，可知：f(2) = 3, f(3) = 7, f(4) = 15, f(5) = 31，总结规律可得：f(n) = 2^n - 1，因此时间复杂度为：O(2^n)

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本文使用示例小游戏为：
http://www.4399.com/flash/293.htm#search3